Use resíduos para calcular

Passo 1

Vamos calcular usando o teorema dos resíduos. Isso envolve escrever f(t)=L^-1smallfrac1(s+1)(s-2)^2, identificar os polos e somar os resíduos de G(s)=F(s)e^st=tfrace^st(s+1)(s-2)^2.

Passo 2

A gente identifica os polos de F(s)=tfrac1(s+1)(s-2)^2: um polo simples em s=-1 e um polo de ordem 2 em s=2. Lembrando as fórmulas: para polo simples s0,
Res[G,s0]=limsto s0(s-s0)G(s),
e para polo de ordem 2 s0,
Res[G,s0]=limsto s011!ddsl[(s-s0)^2G(s)r]

Passo 3

Calculando o resíduo em s=-1:
Res[G,s=-1]=limsto -1(s+1)e^st(s+1)(s-2)^2 =e^-t(-1-2)^2 =e^-t9

Passo 4

Calculando o resíduo em s=2 (polo duplo):
Res[G,s=2]=limsto 2ddsl[(s-2)^2e^st(s+1)(s-2)^2r] =limsto 2ddsl[tfrace^sts+1r]
Derivando:
ddsl[tfrace^sts+1r] =t e^st(s+1)-e^st(s+1)^2 = e^stt(s+1)-1(s+1)^2
Avalia em s=2:
Res[G,s=2]=e^2t3t-19

Passo 5

Somando as duas contribuições pelo teorema dos resíduos a gente chega em:
f(t)=Res[G,s=-1]+Res[G,s=2] =e^-t9+e^2t(3t-1)9

Resposta

f(t)=\frac{e{-t}}{9}+\frac{(3t-1)e{2t}}{9}

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