Use o teorema da convolução para obter uma solução para o problema de valor inicial
l y^prime prime-2 y^prime+y=g(t) y(0)=-1 ; y^prime(0)=1
em que g(t) é qualquer função seccionalmente contínua no intervalo [0,+infty) e de ordem exponencial.
Resp. 2 t e^t-e^t+integral0^t e^t-tau(t-tau) g(tau) d tau.

Passo 1

O problema é uma EDO linear de 2ª ordem com coeficientes constantes: y''-2y'+y=g(t), sujeita a y(0)=-1 e y'(0)=1. Vamos usar a transformada de Laplace e o teorema da convolução para encontrar y(t).

Passo 2

Aplicamos a transformada de Laplace em ambos os lados. Usando Ly''=s^2Y(s)-sy(0)-y'(0), Ly'=sY(s)-y(0) e escrevendo G(s)=Lg(t), obtemos
(s^2Y(s)-sy(0)-y'(0)) -2(sY(s)-y(0)) + Y(s) = G(s)

Passo 3

Substituindo y(0)=-1 e y'(0)=1 na expressão acima e isolando Y(s), chega-se a
(s-1)^2Y(s) + (s-3) = G(s)
ou seja
Y(s) = G(s)(s-1)^2 - s-3(s-1)^2

Passo 4

Fazemos a decomposição s-3(s-1)^2=s-1-2(s-1)^2=1s-1-2(s-1)^2. Logo
Y(s)=G(s)(s-1)^2-1s-1+2(s-1)^2

Passo 5

Para voltar a y(t), usamos L^-11/(s-1)=e^t, L^-11/(s-1)^2=te^t e o teorema da convolução, que diz L^-1F(s)G(s)=f*g. Assim
y(t)= -e^t + 2te^t + integral0^t (t-tau)e^t-taug(tau),dtau

Resposta

y(t)=2te^t-e^t+integral0^te^t-tau(t-tau),g(tau),dtau

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