Use resíduos para calcular

Passo 1

O enunciado pede a transformada inversa de Laplace de F(s)=s+b-a(s-a)^2+b^2 usando resíduos. Esse conteúdo envolve métodos de variáveis complexas: a gente vai achar os polos de F(s), aplicar o teorema dos resíduos à representação de Bromwich e obter f(t)=L^-1F(s)(t).

Passo 2

O denominador (s-a)^2+b^2 zera quando s-a=pm i b, ou seja, existem dois polos simples em
s1=a+ib,
s2=a-ib

Passo 3

A fórmula pela integral de Bromwich mais o teorema dos resíduos diz que
f(t)=L^-1F(s)(t)=sumk=1^2Resl(e^stF(s),skr)

Passo 4

Para o polo s1=a+ib temos
Resl(e^stF(s),s1r)=limsto s1(s-s1)e^sts+b-a(s-a)^2+b^2 =e^(a+ib)ts1+b-a2(s1-a) =e^(a+ib)tb+ib2ib =e^ate^ibt1-i2

Passo 5

Para o polo s2=a-ib obtemos
Resl(e^stF(s),s2r)=e^(a-ib)ts2+b-a2(s2-a) =e^(a-ib)tb-ib-2ib =e^ate^-ibt1+i2

Passo 6

Somando os dois resíduos:
f(t)=e^at(1-i)e^ibt+(1+i)e^-ibt2
Usamos agora as fórmulas de Euler e^pm i bt=cos(bt)pm isin(bt) e verificamos que o resultado é real:
f(t)=e^atl(cos(bt)+sin(bt)r)

Resposta

f(t)=e^{at}(\cos(bt)+\sin(bt))

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