Use resíduos para provar que as integrais abaixo convergem para os valores indicados. Considere
.
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que
usando o Teorema dos Resíduos. O conteúdo principal é Análise Complexa: vamos precisar conhecer polos de ordem 2, calcular resíduos e usar um contorno semicircular com a Lei de Jordan para anular a contribuição do arco.
Passo 2
Definimos a função em
Os pontos onde o denominador zera são
. No semiplano superior temos apenas o polo de ordem 2 em
.
Passo 3
Para calcular o resíduo em
, usamos a fórmula para polo de ordem 2:
Note que
Então
Passo 4
Consideramos o contorno composto pelo eixo real de
a
e pelo semicírculo de raio
no semiplano superior. Pelo Teorema dos Resíduos:
Quando
, pelo comportamento
e comprimento do arco
, a integral no semicírculo tende a zero (Lei de Jordan). Logo
Passo 5
Como
é função par, temos