Use resíduos para provar que as integrais abaixo convergem para os valores indicados. Considere a>0.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que integral0^inftydx(x^2+1)^2=pi4 usando o Teorema dos Resíduos. O conteúdo principal é Análise Complexa: vamos precisar conhecer polos de ordem 2, calcular resíduos e usar um contorno semicircular com a Lei de Jordan para anular a contribuição do arco.

Passo 2

Definimos a função em C
f(z)=1(z^2+1)^2
Os pontos onde o denominador zera são z=pm i. No semiplano superior temos apenas o polo de ordem 2 em z=i.

Passo 3

Para calcular o resíduo em z=i, usamos a fórmula para polo de ordem 2:
Res(f,i)=limzto iddzl[(z-i)^2f(z)r]
Note que
(z-i)^2f(z)=(z-i)^2(z^2+1)^2=1(z+i)^2
Então
Res(f,i)=limzto i-2,(z+i)^-3=-2,1(2i)^3=14i

Passo 4

Consideramos o contorno composto pelo eixo real de -R a R e pelo semicírculo de raio R no semiplano superior. Pelo Teorema dos Resíduos:
integral-R^Rdx(x^2+1)^2+integralarcof(z)dz=2pi i;Res(f,i)
Quando Rtoinfty, pelo comportamento |f(z)|sim1/R^4 e comprimento do arco sim R, a integral no semicírculo tende a zero (Lei de Jordan). Logo
integral-infty^inftydx(x^2+1)^2=2pi icdot14i=pi2

Passo 5

Como 1/(x^2+1)^2 é função par, temos
integral0^inftydx(x^2+1)^2=tfrac12integral-infty^inftydx(x^2+1)^2=pi4

Resposta

pi4

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