Use resíduos para provar que as integrais abaixo convergem para os valores indicados. Considere
.
Passo 1
Resumo do enunciado: queremos mostrar, usando o teorema dos resíduos, que
Temática e ferramentas: vamos usar integrais de funções racionais ao longo de um contorno no plano complexo e aplicar o teorema dos resíduos. Precisamos identificar os polos de
, calcular seus resíduos no semiplano superior e relacionar a integral de linha com a integral real de interesse.
Passo 2
Escolha do contorno: considere o contorno formado pelo segmento real de
a
e o semicírculo de raio
no semiplano superior, orientado no sentido anti-horário. Denotamos por
todo o contorno fechado.
Passo 3
Limite no semicírculo: em cada ponto do semicírculo de raio
, temos
e
. Logo
Assim, ao deixar
, a contribuição do semicírculo tende a zero.
Passo 4
Identificação dos polos e resíduos: as raízes de
são
,
. No semiplano superior ficam
Para cada polo simples
,
o que dá
Passo 5
Aplicação do teorema dos resíduos: pelo teorema, para o contorno completo,
Como
e o semicírculo some, temos
Passo 6
Relação com a integral de interesse: observe que
é par, então
Desse modo obten-se
Finalizamos que