Use resíduos para provar que as integrais abaixo convergem para os valores indicados. Considere a>0.
integral0^infty d xx^6+1=pi6

Passo 1

Resumo do enunciado: queremos mostrar, usando o teorema dos resíduos, que
Temática e ferramentas: vamos usar integrais de funções racionais ao longo de um contorno no plano complexo e aplicar o teorema dos resíduos. Precisamos identificar os polos de f(z)=1/(z^6+1), calcular seus resíduos no semiplano superior e relacionar a integral de linha com a integral real de interesse.

Passo 2

Escolha do contorno: considere o contorno formado pelo segmento real de -R a R e o semicírculo de raio R no semiplano superior, orientado no sentido anti-horário. Denotamos por CR todo o contorno fechado.

Passo 3

Limite no semicírculo: em cada ponto do semicírculo de raio R, temos |z^6+1|>= |z|^6-R^0=R^6-1 e |dz|=R,dtheta. Logo
Assim, ao deixar , a contribuição do semicírculo tende a zero.

Passo 4

Identificação dos polos e resíduos: as raízes de z^6+1=0 são zk=e^i(pi+2pi k)/6, k=0,1,dots,5. No semiplano superior ficam
Para cada polo simples zk,
o que dá

Passo 5

Aplicação do teorema dos resíduos: pelo teorema, para o contorno completo,
Como integral-R^Rf(x),dxtointegral-infty^infty!dxx^6+1 e o semicírculo some, temos

Passo 6

Relação com a integral de interesse: observe que 1/(x^6+1) é par, então
Desse modo obten-se
Finalizamos que

Resposta

integral0^inftydxx^6+1=pi3

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