Use resíduos para provar que as integrais abaixo convergem para os valores indicados. Considere a>0.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que a integral impropriade de 0 a ∞ do racional f(x)=x^2(x^2+9)(x^2+4)^2 converge para pi/200. Vamos usar o Teorema dos Resíduos da Análise Complexa, montando um contorno semicircular no semiplano superior e calculando os polos de f(z).

Passo 2

Como f(x) é função par, temos
integral0^inftyf(x),dx=tfrac12integral-infty^inftyf(x),dx
Para avaliar a integral no eixo real, fechamos o contorno com um semicírculo de raio Rtoinfty no semiplano superior. Pelo Lema de Jordan, a contribuição do arco vai a zero, restando que a integral no eixo real vale 2pi i vezes a soma dos resíduos dos polos em Im z>0.

Passo 3

A função
f(z)=z^2(z^2+9)(z^2+4)^2
tem polos simples em z=pm3i e polos de ordem 2 em z=pm2i. No semiplano superior estão z1=3i (simples) e z2=2i (duplo).

Passo 4

Para o polo simples z=3i:
Res(f,3i)=limzto3i(z-3i)z^2(z-3i)(z+3i)(z^2+4)^2 =(3i)^2(6i)[((-9+4)^2)] =-96icdot25=-350i=3i50

Passo 5

Para o polo duplo z=2i, usamos
Res(f,2i)=limzto2iddzl[(z-2i)^2f(z)r] =limzto2iddzz^2(z^2+9)(z+2i)^2
Calculando derivadas e avaliando em z=2i obtém-se
.

Passo 6

Somando os resíduos no semiplano superior:
sumRes=3i50+l(-tfrac13i200r)= -i200
Pelo Teorema dos Resíduos,
integral-infty^inftyf(x),dx=2pi il(-tfraci200r)=2pi200=pi100
Portanto
integral0^inftyf(x),dx=tfrac12cdotpi100=pi200

Passo 7

Concluímos que a integral dada converge para o valor indicado.

Resposta

pi200

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