Use resíduos para provar que as integrais abaixo convergem para os valores indicados. Considere
.
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que a integral impropriade de 0 a ∞ do racional
converge para
. Vamos usar o Teorema dos Resíduos da Análise Complexa, montando um contorno semicircular no semiplano superior e calculando os polos de
.
Passo 2
Como
é função par, temos
Para avaliar a integral no eixo real, fechamos o contorno com um semicírculo de raio
no semiplano superior. Pelo Lema de Jordan, a contribuição do arco vai a zero, restando que a integral no eixo real vale
vezes a soma dos resíduos dos polos em
.
Passo 3
A função
tem polos simples em
e polos de ordem 2 em
. No semiplano superior estão
(simples) e
(duplo).
Passo 4
Para o polo simples
:
Passo 5
Para o polo duplo
, usamos
Calculando derivadas e avaliando em
obtém-se
.
Passo 6
Somando os resíduos no semiplano superior:
Pelo Teorema dos Resíduos,
Portanto
Passo 7
Concluímos que a integral dada converge para o valor indicado.