Sabendo-se que \left|\begin{array}{lll}a & b & c \\\ d & e & f \\\ g & h & i\end{array}\right|=-6, encontre
\left|\begin{array}{ccc} d & e & f \\\ g & h & i \\\ a & b & c \end{array}\right|, \quad\left|\begin{array}{ccc} 3 a & 3 b & 3 c \\\\ -d & -e & -f \\\\ 2 g & 2 h & 2 i \end{array}\right|, \quad\left|\begin{array}{ccc} 3 a+d & 3 b+e & 3 c+f \\\\ -d & -e & -f \\\ a+2 g & b+2 h & c+2 i \end{array}\right|

Passo 1

O enunciado nos dá a informação
\left|\begin{array}{lll}a & b & c \\\ d & e & f \\\ g & h & i\end{array}\right|=-6,
e pede para calcular três determinantes:
D_1=\left|\begin{array}{ccc} d & e & f \\\ g & h & i \\\ a & b & c \end{array}\right|,\quad D_2=\left|\begin{array}{ccc} 3 a & 3 b & 3 c \\\\ -d & -e & -f \\\\ 2 g & 2 h & 2 i \end{array}\right|,\quad D_3=\left|\begin{array}{ccc} 3 a+d & 3 b+e & 3 c+f \\\\ -d & -e & -f \\\ a+2 g & b+2 h & c+2 i \end{array}\right|.
Dados relevantes listados:
  1. O valor numérico do determinante da matriz \begin{pmatrix}a&b&c\d&e&f\g&h&i\end{pmatrix} é -6.
  2. As três matrizes pedidas são obtidas por permutar linhas, multiplicar linhas por escalares e somar linhas entre si (observe as entradas).
  3. Precisamos aplicar propriedades dos determinantes (permutações de linhas, fator de escala por linha, linearidade em uma linha) para relacionar esses novos determinantes com o determinante dado.

Passo 2

Propriedade usada (explanação didática): trocar duas linhas de uma matriz altera o sinal do determinante. Mais precisamente, se você troca uma vez duas linhas, o determinante é multiplicado por -1. Se fizer duas trocas sucessivas, o fator será (-1)\cdot(-1)=1, ou seja, o determinante volta ao mesmo valor.
Aplicação ao primeiro determinante D_1:
A matriz original tem linhas \,R_1=(a,b,c),\;R_2=(d,e,f),\;R_3=(g,h,i)\,.
A matriz de D_1 tem linhas \,R_2,R_3,R_1, ou seja, é a permutação cíclica (R_1,R_2,R_3)\mapsto(R_2,R_3,R_1).
Uma forma de ver essa permutação é como duas trocas sucessivas:
(R_1,R_2,R_3)\xrightarrow{\text{trocar }R_1\leftrightarrow R_2}(R_2,R_1,R_3) \xrightarrow{\text{trocar }R_1\leftrightarrow R_3}(R_2,R_3,R_1).
Cada troca muda o sinal, então duas trocas dão sinal positivo global. Portanto o determinante não muda:
D_1=\left|\begin{array}{ccc} d & e & f \\\ g & h & i \\\ a & b & c \end{array}\right|=\left|\begin{array}{ccc} a & b & c \\\ d & e & f \\\ g & h & i \end{array}\right|=-6.

Passo 3

Propriedade usada (explanação didática): multiplicar uma linha por um escalar k multiplica o determinante por k. Se você multiplica várias linhas por escalares, o fator global é o produto desses escalares. Por exemplo, multiplicar a linha 1 por k_1, a linha 2 por k_2 e a linha 3 por k_3 transforma o determinante D em k_1k_2k_3 D.
Aplicação ao segundo determinante D_2:
Compare a matriz de D_2 com a matriz original:
  • A primeira linha é 3(a,b,c)=3R_1 (multiplica \,R_1 por 3).
  • A segunda linha é -(d,e,f)=-R_2 (multiplica \,R_2 por -1).
  • A terceira linha é 2(g,h,i)=2R_3 (multiplica \,R_3 por 2).
O fator total que multiplica o determinante original é
3\cdot(-1)\cdot2=-6.
Portanto
D_2 = (-6)\cdot\left|\begin{array}{lll}a & b & c \\\ d & e & f \\\ g & h & i\end{array}\right| =(-6)\cdot(-6)=36.

Passo 4

Propriedade usada (explanação didática importante): o determinante é linear em cada linha separadamente — isto é, se numa linha você tem a soma de dois vetores, o determinante se separa na soma dos determinantes com cada um desses vetores naquela linha, mantendo as outras linhas iguais. Formalmente, para vetores linha u,v e escalares \alpha,\beta,
\det(\alpha u + \beta v,\;L_2,\;L_3)=\alpha\det(u,L_2,L_3)+\beta\det(v,L_2,L_3).
Também, se duas linhas forem iguais ou proporcionais, o determinante vale 0.
Vamos aplicar isso ao terceiro determinante D_3. Denotemos novamente R_1=(a,b,c),\;R_2=(d,e,f),\;R_3=(g,h,i). As linhas da matriz de D_3 são:
\text{linha 1} = 3R_1 + R_2,\qquad \text{linha 2} = -R_2,\qquad \text{linha 3} = R_1 + 2R_3.
Pela linearidade nas linhas, expandimos D_3 em soma de termos (cada termo escolhido combinando um dos somandos de cada linha):
D_3=\det(3R_1+R_2,\,-R_2,\,R_1+2R_3)
=\det(3R_1,\,-R_2,\,R_1)+\det(3R_1,\,-R_2,\,2R_3) +\det(R_2,\,-R_2,\,R_1)+\det(R_2,\,-R_2,\,2R_3).
Agora analisamos termo a termo com as propriedades:
  1. \det(R_2,\,-R_2,\,R_1)=0 porque as linhas 1 e 2 são múltiplas (proporcionais), logo determinante zero.
  2. \det(R_2,\,-R_2,\,2R_3)=0 pelo mesmo motivo.
  3. \det(3R_1,\,-R_2,\,R_1): aqui as linhas 1 e 3 são iguais (ambas proporcionais a R_1), então esse determinante também é 0. (Além disso, há fatores escalares que poderiam ser retirados, mas não é necessário porque a igualdade de linhas já zera o termo.)
  4. Sobrou apenas \det(3R_1,\,-R_2,\,2R_3). Extraímos os escalares multiplicativos:
\det(3R_1,\,-R_2,\,2R_3)=3\cdot(-1)\cdot2\cdot\det(R_1,R_2,R_3)=-6\cdot\det(R_1,R_2,R_3).
Como \det(R_1,R_2,R_3)=-6 (dado), obtemos
D_3 = -6\cdot(-6)=36.

Passo 5

Resumo numérico das conclusões já calculadas:
  • D_1=-6.
  • D_2=36.
  • D_3=36.

Resposta

-6\
36\
36

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