Sabendo-se que \left|\begin{array}{lll}a & b & c \\\ d & e & f \\\ g & h & i\end{array}\right|=-6, encontre
\left|\begin{array}{ccc} d & e & f \\\ g & h & i \\\ a & b & c \end{array}\right|, \quad\left|\begin{array}{ccc} 3 a & 3 b & 3 c \\\\ -d & -e & -f \\\\ 2 g & 2 h & 2 i \end{array}\right|, \quad\left|\begin{array}{ccc} 3 a+d & 3 b+e & 3 c+f \\\\ -d & -e & -f \\\ a+2 g & b+2 h & c+2 i \end{array}\right|
Passo 1
O enunciado nos dá a informação
\left|\begin{array}{lll}a & b & c \\\ d & e & f \\\ g & h & i\end{array}\right|=-6,
e pede para calcular três determinantes:
D_1=\left|\begin{array}{ccc} d & e & f \\\ g & h & i \\\ a & b & c \end{array}\right|,\quad D_2=\left|\begin{array}{ccc} 3 a & 3 b & 3 c \\\\ -d & -e & -f \\\\ 2 g & 2 h & 2 i \end{array}\right|,\quad D_3=\left|\begin{array}{ccc} 3 a+d & 3 b+e & 3 c+f \\\\ -d & -e & -f \\\ a+2 g & b+2 h & c+2 i \end{array}\right|.
Dados relevantes listados:
O valor numérico do determinante da matriz \begin{pmatrix}a&b&c\d&e&f\g&h&i\end{pmatrix} é -6.
As três matrizes pedidas são obtidas por permutar linhas, multiplicar linhas por escalares e somar linhas entre si (observe as entradas).
Precisamos aplicar propriedades dos determinantes (permutações de linhas, fator de escala por linha, linearidade em uma linha) para relacionar esses novos determinantes com o determinante dado.
Passo 2
Propriedade usada (explanação didática): trocar duas linhas de uma matriz altera o sinal do determinante. Mais precisamente, se você troca uma vez duas linhas, o determinante é multiplicado por -1. Se fizer duas trocas sucessivas, o fator será (-1)\cdot(-1)=1, ou seja, o determinante volta ao mesmo valor.
Aplicação ao primeiro determinante D_1:
A matriz original tem linhas \,R_1=(a,b,c),\;R_2=(d,e,f),\;R_3=(g,h,i)\,.
A matriz de D_1 tem linhas \,R_2,R_3,R_1, ou seja, é a permutação cíclica (R_1,R_2,R_3)\mapsto(R_2,R_3,R_1).
Uma forma de ver essa permutação é como duas trocas sucessivas:
Cada troca muda o sinal, então duas trocas dão sinal positivo global. Portanto o determinante não muda:
D_1=\left|\begin{array}{ccc} d & e & f \\\ g & h & i \\\ a & b & c \end{array}\right|=\left|\begin{array}{ccc} a & b & c \\\ d & e & f \\\ g & h & i \end{array}\right|=-6.
Passo 3
Propriedade usada (explanação didática): multiplicar uma linha por um escalar k multiplica o determinante por k. Se você multiplica várias linhas por escalares, o fator global é o produto desses escalares. Por exemplo, multiplicar a linha 1 por k_1, a linha 2 por k_2 e a linha 3 por k_3 transforma o determinante D em k_1k_2k_3 D.
Aplicação ao segundo determinante D_2:
Compare a matriz de D_2 com a matriz original:
A primeira linha é 3(a,b,c)=3R_1 (multiplica \,R_1 por 3).
A segunda linha é -(d,e,f)=-R_2 (multiplica \,R_2 por -1).
A terceira linha é 2(g,h,i)=2R_3 (multiplica \,R_3 por 2).
O fator total que multiplica o determinante original é
3\cdot(-1)\cdot2=-6.
Portanto
D_2 = (-6)\cdot\left|\begin{array}{lll}a & b & c \\\ d & e & f \\\ g & h & i\end{array}\right| =(-6)\cdot(-6)=36.
Passo 4
Propriedade usada (explanação didática importante): o determinante é linear em cada linha separadamente — isto é, se numa linha você tem a soma de dois vetores, o determinante se separa na soma dos determinantes com cada um desses vetores naquela linha, mantendo as outras linhas iguais. Formalmente, para vetores linha u,v e escalares \alpha,\beta,
\det(\alpha u + \beta v,\;L_2,\;L_3)=\alpha\det(u,L_2,L_3)+\beta\det(v,L_2,L_3).
Também, se duas linhas forem iguais ou proporcionais, o determinante vale 0.
Vamos aplicar isso ao terceiro determinante D_3. Denotemos novamente R_1=(a,b,c),\;R_2=(d,e,f),\;R_3=(g,h,i). As linhas da matriz de D_3 são:
Agora analisamos termo a termo com as propriedades:
\det(R_2,\,-R_2,\,R_1)=0 porque as linhas 1 e 2 são múltiplas (proporcionais), logo determinante zero.
\det(R_2,\,-R_2,\,2R_3)=0 pelo mesmo motivo.
\det(3R_1,\,-R_2,\,R_1): aqui as linhas 1 e 3 são iguais (ambas proporcionais a R_1), então esse determinante também é 0. (Além disso, há fatores escalares que poderiam ser retirados, mas não é necessário porque a igualdade de linhas já zera o termo.)
Sobrou apenas \det(3R_1,\,-R_2,\,2R_3). Extraímos os escalares multiplicativos: