prove que o campo de forças dado é conservativo e ache uma função potencial.
\mathbf{F}(x, y, z)=(\operatorname{tg} y+2 x y \operatorname{sec} z) \mathbf{i}+\left(x \operatorname{sec} ^{2} y+x^{2} \operatorname{sec} z\right) \mathbf{j}+\operatorname{sec} z\left(x^{2} y \operatorname{tg} z-\operatorname{sec} z\right) \mathbf{k}

Passo 1

O enunciado pede duas coisas:
  • Mostrar que o campo de forças \mathbf{F}(x,y,z) é conservativo.
  • Achar uma função potencial para \mathbf{F}.
O campo fornecido tem componentes (vou pegar estas expressões do enunciado):
\mathbf{F}(x,y,z) = P\,\mathbf{i} + Q\,\mathbf{j} + R\,\mathbf{k},
onde
P(x,y,z)=\tan y + 2xy\operatorname{sec} z,
Q(x,y,z)=x\operatorname{sec}^{2}y + x^{2}\operatorname{sec} z,
R(x,y,z)=\operatorname{sec} z\bigl(x^{2}y\tan z - \operatorname{sec} z\bigr).
Informações relevantes sobre domínio (importante para existência de potencial):
  • As funções \tan y, \operatorname{sec} y e \operatorname{sec} z aparecem: isso exige \cos y\neq 0 e \cos z\neq 0.
  • Assim o campo está definido em conjuntos do tipo \{(x,y,z):\cos y\neq0,\\ \cos z\neq0\}. Esses conjuntos se decompõem em regiões abertas que são simplesmente conectadas (por exemplo, uma região onde y e z ficam em intervalos sem passar por pontos com cosseno zero). Em qualquer uma dessas regiões simplesmente conectadas podemos usar o teste do rotor (curl) para verificar se o campo é conservativo.
O que vou fazer: calcular o rotor \nabla\times\mathbf{F} e, se for o vetor nulo em uma região simplesmente conectada do domínio, concluir que \mathbf{F} é conservativo nessa região; depois encontrar a função potencial \varphi tal que \nabla\varphi=\mathbf{F}.

Passo 2

Lembrete rápido sobre teoria (didático):
  • Um campo vetorial \mathbf{F}=P\mathbf{i}+Q\mathbf{j}+R\mathbf{k} é gradiente de uma função \varphi (ou seja, conservativo) numa região aberta simplesmente conectada se e somente se o rotor \nabla\times\mathbf{F} for o vetor nulo nessa região.
  • O rotor em coordenadas cartesiana é
\nabla\times\mathbf{F} = \Bigl(\frac{\partial R}{\partial y}-\frac{\partial Q}{\partial z}\Bigr)\mathbf{i} +\Bigl(\frac{\partial P}{\partial z}-\frac{\partial R}{\partial x}\Bigr)\mathbf{j} +\Bigl(\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y}\Bigr)\mathbf{k}.
  • Para encontrar a potencial \varphi quando \mathbf{F}=\nabla\varphi, integra-se uma componente (por exemplo P) em relação a x e adiciona-se uma função de integração que depende de y,z; depois impõe-se que as derivadas parciais de \varphi coincidam com Q e R para determinar essa função de integração.

Passo 3

Calcular as derivadas parciais necessárias (vou mostrar passo a passo).
Primeiro calcule \dfrac{\partial R}{\partial y}. Como
R(x,y,z)=\operatorname{sec} z\bigl(x^{2}y\tan z - \operatorname{sec} z\bigr),
tratando \operatorname{sec} z e \tan z como constantes em relação a y,
\frac{\partial R}{\partial y} = \operatorname{sec} z \cdot \frac{\partial}{\partial y}\bigl(x^{2}y\tan z - \operatorname{sec} z\bigr) = \operatorname{sec} z \cdot \bigl(x^{2}\tan z\bigr) = x^{2}\operatorname{sec} z\tan z.
Agora calcule \dfrac{\partial Q}{\partial z}. Como
Q(x,y,z)=x\operatorname{sec}^{2}y + x^{2}\operatorname{sec} z,
a primeira parcela não depende de z e a segunda tem derivada
\frac{\partial Q}{\partial z} = 0 + x^{2}\frac{d}{dz}\operatorname{sec} z = x^{2}\operatorname{sec} z\tan z.
Logo a componente i do rotor é
\frac{\partial R}{\partial y}-\frac{\partial Q}{\partial z} = x^{2}\operatorname{sec} z\tan z - x^{2}\operatorname{sec} z\tan z = 0.

Passo 4

Agora a componente j: calcule \dfrac{\partial P}{\partial z} e \dfrac{\partial R}{\partial x}.
Para \dfrac{\partial P}{\partial z}, com P(x,y,z)=\tan y + 2xy\operatorname{sec} z, temos
\frac{\partial P}{\partial z} = 0 + 2xy\frac{d}{dz}\operatorname{sec} z = 2xy\operatorname{sec} z\tan z.
Para \dfrac{\partial R}{\partial x}, usando a expressão de R,
\frac{\partial R}{\partial x} = \operatorname{sec} z \cdot \frac{\partial}{\partial x}\bigl(x^{2}y\tan z - \operatorname{sec} z\bigr) = \operatorname{sec} z \cdot (2xy\tan z) = 2xy\operatorname{sec} z\tan z.
Logo a componente j do rotor é
\frac{\partial P}{\partial z}-\frac{\partial R}{\partial x} = 2xy\operatorname{sec} z\tan z - 2xy\operatorname{sec} z\tan z = 0.

Passo 5

Componente k: calcule \dfrac{\partial Q}{\partial x} e \dfrac{\partial P}{\partial y}.
Para \dfrac{\partial Q}{\partial x}, de Q(x,y,z)=x\operatorname{sec}^{2}y + x^{2}\operatorname{sec} z,
\frac{\partial Q}{\partial x} = \operatorname{sec}^{2}y + 2x\operatorname{sec} z.
Para \dfrac{\partial P}{\partial y}, de P(x,y,z)=\tan y + 2xy\operatorname{sec} z,
\frac{\partial P}{\partial y} = \operatorname{sec}^{2}y + 2x\operatorname{sec} z.
Logo a componente k do rotor é
\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y} = (\operatorname{sec}^{2}y + 2x\operatorname{sec} z) - (\operatorname{sec}^{2}y + 2x\operatorname{sec} z) = 0.

Passo 6

Conclusão do teste do rotor:
\nabla\times\mathbf{F} = \mathbf{0}
em todo o domínio onde o campo está definido (ou seja, onde \cos y\neq0 e \cos z\neq0). Portanto, em qualquer região aberta simplesmente conectada contida nesse domínio, \mathbf{F} é conservativo e existe \varphi tal que \nabla\varphi=\mathbf{F}.
Agora vamos encontrar explicitamente a função potencial \varphi(x,y,z).

Passo 7

Método prático para obter \varphi: integrar P em relação a x e acrescentar uma função arbitrária de y,z.
Integre P em relação a x:
\varphi(x,y,z) = \int P(x,y,z)\,dx = \int\bigl(\tan y + 2xy\operatorname{sec} z\bigr)\,dx.
Aqui \tan y e \operatorname{sec} z são constantes em relação a x. Portanto
\varphi(x,y,z) = x\tan y + x^{2}y\operatorname{sec} z + g(y,z),
onde g(y,z) é uma função arbitrária (a “constante” de integração que pode depender de y e z).

Passo 8

Impor \frac{\partial\varphi}{\partial y}=Q para determinar g.
Calcule
\frac{\partial\varphi}{\partial y} = x\operatorname{sec}^{2}y + x^{2}\operatorname{sec} z + \frac{\partial g}{\partial y}(y,z).
Comparando com Q(x,y,z)=x\operatorname{sec}^{2}y + x^{2}\operatorname{sec} z, obtemos
\frac{\partial g}{\partial y}(y,z)=0.
Logo g depende apenas de z: g(y,z)=h(z).

Passo 9

Impor \frac{\partial\varphi}{\partial z}=R para determinar h(z).
Com g=h(z),
\varphi(x,y,z)=x\tan y + x^{2}y\operatorname{sec} z + h(z).
Calcule
\frac{\partial\varphi}{\partial z} = x^{2}y\frac{d}{dz}\operatorname{sec} z + h'(z) = x^{2}y\operatorname{sec} z\tan z + h'(z).
Comparando com
R(x,y,z)=\operatorname{sec} z\bigl(x^{2}y\tan z - \operatorname{sec} z\bigr) = x^{2}y\operatorname{sec} z\tan z - \operatorname{sec}^{2}z,
obtemos
x^{2}y\operatorname{sec} z\tan z + h'(z) = x^{2}y\operatorname{sec} z\tan z - \operatorname{sec}^{2}z,
portanto
h'(z) = -\operatorname{sec}^{2}z.
Integrando em z,
h(z) = -\int \operatorname{sec}^{2}z\,dz = -\tan z + C,
onde C é constante real.

Passo 10

Juntando tudo, uma função potencial (até constante aditiva) é
\varphi(x,y,z)=x\tan y + x^{2}y\operatorname{sec} z - \tan z + C.
Verificação rápida (opcional): derivando \varphi nas três direções recupera P,Q,R, como foi imposto nas etapas anteriores.

Resposta

\displaystyle \varphi(x,y,z)=x\tan y + x^{2}y\operatorname{sec} z - \tan z + C, com C\in\mathbb{R}.

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