prove que o campo de forças dado é conservativo e ache uma função potencial.
Passo 1
O enunciado pede duas coisas:
- Mostrar que o campo de forças
é conservativo. - Achar uma função potencial para
.
O campo fornecido tem componentes (vou pegar estas expressões do enunciado):
onde
Informações relevantes sobre domínio (importante para existência de potencial):
- As funções
, e aparecem: isso exige e . - Assim o campo está definido em conjuntos do tipo
. Esses conjuntos se decompõem em regiões abertas que são simplesmente conectadas (por exemplo, uma região onde e ficam em intervalos sem passar por pontos com cosseno zero). Em qualquer uma dessas regiões simplesmente conectadas podemos usar o teste do rotor (curl) para verificar se o campo é conservativo.
O que vou fazer: calcular o rotor
e, se for o vetor nulo em uma região simplesmente conectada do domínio, concluir que
é conservativo nessa região; depois encontrar a função potencial
tal que
.
Passo 2
Lembrete rápido sobre teoria (didático):
- Um campo vetorial
é gradiente de uma função (ou seja, conservativo) numa região aberta simplesmente conectada se e somente se o rotor for o vetor nulo nessa região. - O rotor em coordenadas cartesiana é
- Para encontrar a potencial
quando , integra-se uma componente (por exemplo ) em relação a e adiciona-se uma função de integração que depende de ; depois impõe-se que as derivadas parciais de coincidam com e para determinar essa função de integração.
Passo 3
Calcular as derivadas parciais necessárias (vou mostrar passo a passo).
Primeiro calcule
. Como
tratando
e
como constantes em relação a
,
Agora calcule
. Como
a primeira parcela não depende de
e a segunda tem derivada
Logo a componente
do rotor é
Passo 4
Agora a componente
: calcule
e
.
Para
, com
, temos
Para
, usando a expressão de
,
Logo a componente
do rotor é
Passo 5
Componente
: calcule
e
.
Para
, de
,
Para
, de
,
Logo a componente
do rotor é
Passo 6
Conclusão do teste do rotor:
em todo o domínio onde o campo está definido (ou seja, onde
e
). Portanto, em qualquer região aberta simplesmente conectada contida nesse domínio,
é conservativo e existe
tal que
.
Agora vamos encontrar explicitamente a função potencial
.
Passo 7
Método prático para obter
: integrar
em relação a
e acrescentar uma função arbitrária de
.
Integre
em relação a
:
Aqui
e
são constantes em relação a
. Portanto
onde
é uma função arbitrária (a “constante” de integração que pode depender de
e
).
Passo 8
Impor
para determinar
.
Calcule
Comparando com
, obtemos
Logo
depende apenas de
:
.
Passo 9
Impor
para determinar
.
Com
,
Calcule
Comparando com
obtemos
portanto
Integrando em
,
onde
é constante real.
Passo 10
Juntando tudo, uma função potencial (até constante aditiva) é
Verificação rápida (opcional): derivando
nas três direções recupera
, como foi imposto nas etapas anteriores.