(3) Use o roteiro desta seção para esboçar a curva
y=x^3x-1
Dica: Segue os passos:
(a) Dominio e Intersecções com os Eixos
(b) Simetria: função par, função ímpar, função periódica.
(c) Assíntotas: assíntotas horizontais, assíntotas verticais.
(d) Intervalos de crescimento ou Decrescimento.
(e) Valores máximos e mínimos locais
(f) Concavidade e Pontos de Inflexão
(g) Esboço da curva.

Passo 1

O enunciado pede o esboço da curva
y = x^3x - 1
seguindo o roteiro de estudo de funções: domínio, interceptos, simetria, assíntotas, monotonia, extremos, concavidade e inflexões. Vamos usar cálculo de limites, derivadas primeira e segunda, e divisão polinomial para as assíntotas.

Passo 2

Dominio e intersecções com os eixos:
O denominador x-1 não pode ser zero, logo o domínio é
xinRmid xneq1
Para intercepto vertical ( y-intercepto) tomamos x=0:
y(0)=0^30-1=0,
logo passa pela origem (0,0).
Para interceptos em x igualamos o numerador a zero, x^3=0, dando x=0, o mesmo ponto.

Passo 3

Simetria:
Testamos f(-x)=tfrac(-x)^3-x-1=-tfracx^3x+1, que não é nem f(x) nem -f(x) e a função não é periódica.
Conclusão: sem simetria par, ímpar ou periódica.

Passo 4

Assíntotas:
  1. Vertical em x=1, pois o limite lateral diverge:
limxto1^-x^3x-1=-infty, limxto1^+x^3x-1=+infty
  1. Para assíntota oblíqua de grau 2, dividimos polinômios:
x^3x-1=x^2+x+1+1x-1
Assim, conforme xtopminfty,
ysim x^2+x+1,
que é a assíntota polinomial de segundo grau.

Passo 5

Intervalos de crescimento e decrescimento:
Calculamos
y'=ddxl(x^3x-1r) =3x^2(x-1)-x^3(x-1)^2 =x^2(2x-3)(x-1)^2
Os zeros de y' são x=0 (multiplicidade 2) e x=tfrac32; o denominador é sempre positivo (exceto em x=1, fora do domínio).
  • Para x<tfrac32 (e xneq1), temos 2x-3<0, logo y'<0: função decresce em (-infty,1) e (1,tfrac32).
  • Para x>tfrac32, 2x-3>0 e y'>0: função cresce em (tfrac32,infty).

Passo 6

Extremos locais:
Em x=0, embora y'=0, o sinal não muda (é negativo antes e depois), então não é extremo, mas tangente horizontal.
Em x=tfrac32, y' passa de negativo para positivo, caracterizando um mínimo local.
O valor é
yl(tfrac32r) =(tfrac32)^3tfrac32-1 =tfrac278tfrac12 =274

Passo 7

Concavidade e pontos de inflexão:
A segunda derivada é
y''=-2,x,(2x^2-6x+3)(x-1)^3
Zeram-se o numerador em x=0 e em
2x^2-6x+3=0Longrightarrow x=3pmraiz32
Testando sinais, conclui-se:
  • Côncava para baixo em (-infty,0), l(tfrac3-raiz32,1r) e l(tfrac3+raiz32,inftyr).
  • Côncava para cima em l(0,tfrac3-raiz32r) e l(1,tfrac3+raiz32r).
    Pontos de inflexão em x=0, x=tfrac3-raiz32 e x=tfrac3+raiz32.

Passo 8

Esboço da curva:
  • Ramo à esquerda de x=1: decrescente, concavidade trocando em x=0 e x=(3-raiz3)/2, atravessa a origem e vai a -infty quando xto1^-.
  • Ramo à direita de x=1: parte de +infty em xto1^+, decresce até o mínimo em x=3/2, depois cresce. Alterna concavidade em x=(3+raiz3)/2.
  • Em ambos os lados, para xtopminfty, a curva se aproxima da parábola y=x^2+x+1.

Resposta

O esboço tem uma assíntota vertical em x=1 e uma assíntota polinomial y=x^2+x+1; passa pela origem, tem tangente horizontal em x=0, mínimo local em l(tfrac32,tfrac274r), e pontos de inflexão em x=0,tfrac3-raiz32,tfrac3+raiz32.

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