(3) Use o roteiro desta seção para esboçar a curva
Dica: Segue os passos:
(a) Dominio e Intersecções com os Eixos
(b) Simetria: função par, função ímpar, função periódica.
(c) Assíntotas: assíntotas horizontais, assíntotas verticais.
(d) Intervalos de crescimento ou Decrescimento.
(e) Valores máximos e mínimos locais
(f) Concavidade e Pontos de Inflexão
(g) Esboço da curva.
(a) Dominio e Intersecções com os Eixos
(b) Simetria: função par, função ímpar, função periódica.
(c) Assíntotas: assíntotas horizontais, assíntotas verticais.
(d) Intervalos de crescimento ou Decrescimento.
(e) Valores máximos e mínimos locais
(f) Concavidade e Pontos de Inflexão
(g) Esboço da curva.
Passo 1
O enunciado pede o esboço da curva
seguindo o roteiro de estudo de funções: domínio, interceptos, simetria, assíntotas, monotonia, extremos, concavidade e inflexões. Vamos usar cálculo de limites, derivadas primeira e segunda, e divisão polinomial para as assíntotas.
Passo 2
Dominio e intersecções com os eixos:
O denominador não pode ser zero, logo o domínio é
O denominador
Para intercepto vertical (
-intercepto) tomamos
:
logo passa pela origem
.
Para interceptos em igualamos o numerador a zero,
, dando
, o mesmo ponto.
Para interceptos em
Passo 3
Simetria:
Testamos , que não é nem
nem
e a função não é periódica.
Conclusão: sem simetria par, ímpar ou periódica.
Testamos
Conclusão: sem simetria par, ímpar ou periódica.
Passo 4
Assíntotas:
- Vertical em
, pois o limite lateral diverge:
- Para assíntota oblíqua de grau 2, dividimos polinômios:
Assim, conforme
,
que é a assíntota polinomial de segundo grau.
Passo 5
Intervalos de crescimento e decrescimento:
Calculamos
Calculamos
Os zeros de
são
(multiplicidade 2) e
; o denominador é sempre positivo (exceto em
, fora do domínio).
- Para
(e ), temos , logo : função decresce em e . - Para
, e : função cresce em .
Passo 6
Extremos locais:
Em , embora
, o sinal não muda (é negativo antes e depois), então não é extremo, mas tangente horizontal.
Em ,
passa de negativo para positivo, caracterizando um mínimo local.
O valor é
Em
Em
O valor é
Passo 7
Concavidade e pontos de inflexão:
A segunda derivada é
A segunda derivada é
Zeram-se o numerador em
e em
Testando sinais, conclui-se:
- Côncava para baixo em
, e . - Côncava para cima em
e .
Pontos de inflexão em, e .
Passo 8
Esboço da curva:
- Ramo à esquerda de
: decrescente, concavidade trocando em e , atravessa a origem e vai a quando . - Ramo à direita de
: parte de em , decresce até o mínimo em , depois cresce. Alterna concavidade em . - Em ambos os lados, para
, a curva se aproxima da parábola .
Resposta
O esboço tem uma assíntota vertical em
e uma assíntota polinomial
; passa pela origem, tem tangente horizontal em
, mínimo local em
, e pontos de inflexão em
.