Calcule os seguintes limites:
\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\operatorname{tg} 3 x-\operatorname{sen} x}{\operatorname{sen}^{3} x}
\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\operatorname{tg} 3 x-\operatorname{sen} x}{\operatorname{sen}^{3} x}
Passo 1
O enunciado pede o cálculo do limite
O conteúdo principal aqui é usar expansão em série de Taylor das funções trigonométricas em torno de
até a ordem necessária para identificar o comportamento dominante do quociente.
Passo 2
Vamos lembrar as expansões até termos de ordem
:
Passo 3
Usando a expansão de
para
obtemos
E já temos
Passo 4
Subtraindo essas duas séries no numerador:
Passo 5
Para o denominador usamos
Passo 6
Agora o quociente fica
Quando
,
. Logo o limite diverge para
.
Resposta
O limite é
.