Calcule os seguintes limites:
\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\operatorname{tg} 3 x-\operatorname{sen} x}{\operatorname{sen}^{3} x}

Passo 1

O enunciado pede o cálculo do limite
limxto 0tan(3x)-sin xsin^3x
O conteúdo principal aqui é usar expansão em série de Taylor das funções trigonométricas em torno de x=0 até a ordem necessária para identificar o comportamento dominante do quociente.

Passo 2

Vamos lembrar as expansões até termos de ordem x^3:
sin x = x - x^36 + O(x^5),
tan x = x + x^33 + O(x^5)

Passo 3

Usando a expansão de tan x para tan(3x) obtemos
tan(3x) = 3x + (3x)^33 + O(x^5) =3x + 9x^3 + O(x^5)
E já temos
sin x = x - x^36 + O(x^5)

Passo 4

Subtraindo essas duas séries no numerador:
tan(3x)-sin x =l(3x+9x^3r)-l(x-x^36r)+O(x^5) =2x+l(9+tfrac16r)x^3+O(x^5) =2x+556x^3+O(x^5)

Passo 5

Para o denominador usamos
sin^3x=l(x-tfracx^36+O(x^5)r)^3 =x^3l(1+O(x^2)r) =x^3+O(x^5)

Passo 6

Agora o quociente fica
tan(3x)-sin xsin^3x =2x+556x^3+O(x^5)x^3+O(x^5) =2xx^3+termos finitos =2x^2+termos que permanecem limitados
Quando xto0, tfrac2x^2to+infty. Logo o limite diverge para +infty.

Resposta

O limite é +infty.

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