Calcule as seguintes integrais indefinidas:
\int t(1-t)^{3 / 2} d t.

Passo 1

O enunciado pede calcular a integral indefinida
\int t(1-t)^{3/2}\,dt.
Informações dadas e o que é pedido:
  • A variável de integração é t.
  • O integrando é t(1-t)^{3/2}.
  • Queremos uma primitiva (antiderivada) da função, ou seja, encontrar uma função F(t) tal que F'(t)=t(1-t)^{3/2}.
  • Não há outras restrições; a resposta deve conter a constante de integração C.

Passo 2

Escolha do método: vamos usar a substituição simples u=1-t. Razão: o fator (1-t)^{3/2} sugere transformar essa expressão numa potência de uma única variável u; além disso du ficará relacionado com dt de forma simples. Substituições desse tipo costumam transformar produtos com uma função composta em potências fáceis de integrar.

Passo 3

Fazendo a substituição:
u = 1-t \quad\Rightarrow\quad du = -dt \quad\text{e}\quad t = 1-u.
Agora substituímos na integral original:
\int t(1-t)^{3/2}\,dt = \int (1-u)\,u^{3/2}\,(-du).
Tirando o sinal para frente e distribuindo:
\int (1-u)\,u^{3/2}\,(-du) = -\int (1-u)u^{3/2}\,du = -\int \bigl(u^{3/2} - u^{5/2}\bigr)\,du.

Passo 4

Integramos termo a termo usando a regra da potência: para n\neq -1,
\int u^{n}\,du = \frac{u^{n+1}}{n+1} + C.
Aplicando aqui:
-\int u^{3/2}\,du + \int u^{5/2}\,du = -\frac{u^{5/2}}{5/2} + \frac{u^{7/2}}{7/2} + C.
Simplificando as frações (dividir por 5/2 é multiplicar por 2/5, etc.):
-\frac{u^{5/2}}{5/2} + \frac{u^{7/2}}{7/2} + C = -\frac{2}{5}u^{5/2} + \frac{2}{7}u^{7/2} + C.

Passo 5

Voltando à variável original t usando u=1-t:
F(t)=\frac{2}{7}(1-t)^{7/2}-\frac{2}{5}(1-t)^{5/2}+C.
Essa é uma primitiva da função dada.

Passo 6

Checagem rápida (derivação) para confirmar: derivando F(t),
F'(t)=\frac{2}{7}\cdot\frac{7}{2}(1-t)^{5/2}(-1)-\frac{2}{5}\cdot\frac{5}{2}(1-t)^{3/2}(-1).
Os fatores se simplificam e os sinais resultam em
F'(t)=-(1-t)^{5/2}+(1-t)^{3/2}=(1-t)^{3/2}\bigl(1-(1-t)\bigr)=t(1-t)^{3/2},
que coincide com o integrando. Portanto a primitiva está correta.

Resposta

\frac{2}{7}(1-t)^{7/2}-\frac{2}{5}(1-t)^{5/2}+C

Exercícios relacionados