Calcule as seguintes integrais indefinidas:
.
Passo 1
O enunciado pede calcular a integral indefinida
Informações dadas e o que é pedido:
- A variável de integração é
. - O integrando é
. - Queremos uma primitiva (antiderivada) da função, ou seja, encontrar uma função
tal que . - Não há outras restrições; a resposta deve conter a constante de integração
.
Passo 2
Escolha do método: vamos usar a substituição simples
. Razão: o fator
sugere transformar essa expressão numa potência de uma única variável
; além disso
ficará relacionado com
de forma simples. Substituições desse tipo costumam transformar produtos com uma função composta em potências fáceis de integrar.
Passo 3
Fazendo a substituição:
Agora substituímos na integral original:
Tirando o sinal para frente e distribuindo:
Passo 4
Integramos termo a termo usando a regra da potência: para
,
Aplicando aqui:
Simplificando as frações (dividir por
é multiplicar por
, etc.):
Passo 5
Voltando à variável original
usando
:
Essa é uma primitiva da função dada.
Passo 6
Checagem rápida (derivação) para confirmar: derivando
,
Os fatores se simplificam e os sinais resultam em
que coincide com o integrando. Portanto a primitiva está correta.