Calcule as seguintes integrais indefinidas:
a) \int \frac{\cos x}{1+\operatorname{sen} x} d x.
b) \int \frac{e^{\sqrt{x}}}{\sqrt{x}} d x.
c) \int \frac{x+1}{\left(x^{2}+2 x+2\right)^{2}} d x.
d) \int \frac{(\ln x)^{2}}{x} d x.
e) \int \operatorname{sen}^{5} x \cos x d x.
f) \int x^{2} \sqrt{2+x} d x.
g) \int t(1-t)^{3 / 2} d t.
h) \int \frac{1}{\sqrt{x}(1+x)} d x.
i) \int \frac{x \cos \sqrt{1+x^{2}}}{\sqrt{1+x^{2}}} d x.

Passo 1

Você me deu nove integrais indefinidas para calcular. Vou listar cada uma claramente (somente o que o enunciado pede e as expressões dadas):
\text{(a)}\\ \int \frac{\cos x}{1+\operatorname{sen} x}\,dx.
\text{(b)}\\ \int \frac{e^{\sqrt{x}}}{\sqrt{x}}\,dx.
\text{\text{(c)}}\\ \int \frac{x+1}{\left(x^{2}+2 x+2\right)^{2}}\,dx.
\text{(d)}\\ \int \frac{(\ln x)^{2}}{x}\,dx.
\text{(e)}\\ \int \operatorname{sen}^{5} x \cos x\,dx.
\text{(f)}\\ \int x^{2} \sqrt{2+x}\,dx.
\text{(g)}\\ \int t(1-t)^{3 / 2}\,dt.
\text{(h)}\\ \int \frac{1}{\sqrt{x}(1+x)}\,dx.
\text{(i)}\\ \int \frac{x\cos\sqrt{1+x^{2}}}{\sqrt{1+x^{2}}}\,dx.
Vou resolver cada integral passo a passo, explicando as ideias (substituições, regras de integração, e por que funcionam) e mostrando os cálculos detalhados.

Passo 2

Resolver (a): \displaystyle \int \frac{\cos x}{1+\operatorname{sen} x}\,dx.
Idea / ferramenta: substituição simples (u-substitution). A ideia da substituição é reconhecer uma parte da expressão cuja derivada aparece multiplicando-a; então trocamos por uma nova variável para simplificar. Formalmente, se \,u=g(x) e du=g'(x)\,dx, então \int f(g(x))g'(x)\,dx=\int f(u)\,du.
Aqui vemos \operatorname{sen} x no denominador e \cos x\,dx multiplicando: a derivada de \operatorname{sen} x é \cos x. Então escolhemos
u=1+\operatorname{sen} x.
Calculamos du=\cos x\,dx. Assim a integral vira
\int \frac{\cos x}{1+\operatorname{sen} x}\,dx=\int \frac{1}{u}\,du.
Integramos usando a primitiva de 1/u, que é \ln|u|:
\int \frac{1}{u}\,du=\ln|u|+C.
Voltando à variável x:
\ln|1+\operatorname{sen} x|+C.

Passo 3

Resolver (b): \displaystyle \int \frac{e^{\sqrt{x}}}{\sqrt{x}}\,dx.
Idea: usar substituição t=\sqrt{x} (útil sempre que aparece \sqrt{x} e \sqrt{x} no denominador). Lembrete: se t=\sqrt{x} então x=t^{2} e dx=2t\,dt.
Fazendo a substituição:
t=\sqrt{x}\quad\Rightarrow\quad dx=2t\,dt.
Substituímos na integral:
\int \frac{e^{\sqrt{x}}}{\sqrt{x}}\,dx=\int \frac{e^{t}}{t}\cdot(2t\,dt)=\int 2e^{t}\,dt.
A primitive de 2e^{t} é 2e^{t}. Voltando para x:
2e^{\sqrt{x}}+C.

Passo 4

Resolver (c): \displaystyle \int \frac{x+1}{\left(x^{2}+2 x+2\right)^{2}}\,dx.
Observação: o denominador é uma função cujo derivado é parecido com o numerador. Verifique: se u=x^{2}+2x+2, então du=(2x+2)\,dx=2(x+1)\,dx. Portanto (x+1)\,dx=du/2. Essa é a técnica padrão: reconhecer f'(x) no numerador.
Fazendo a substituição u=x^{2}+2x+2:
\int \frac{x+1}{(x^{2}+2x+2)^{2}}\,dx=\int \frac{1}{u^{2}}\cdot\frac{du}{2}=\frac{1}{2}\int u^{-2}\,du.
Integramos usando a regra da potência: \int u^{n}\,du=\frac{u^{n+1}}{n+1} (para n\neq-1). Aqui n=-2, então
\frac{1}{2}\int u^{-2}\,du=\frac{1}{2}\cdot\frac{u^{-1}}{-1} +C = -\frac{1}{2u}+C.
Voltando:
-\frac{1}{2(x^{2}+2x+2)}+C.

Passo 5

Resolver (d): \displaystyle \int \frac{(\ln x)^{2}}{x}\,dx.
Técnica: substituição u=\ln x. Justificativa: derivada de \ln x é 1/x, que aparece no integrando, então simplifica direto.
Fazendo u=\ln x, obtemos du=\frac{1}{x}\,dx. Então
\int \frac{(\ln x)^{2}}{x}\,dx=\int u^{2}\,du.
Integrando com a regra da potência:
\int u^{2}\,du=\frac{u^{3}}{3}+C.
Voltando:
\frac{(\ln x)^{3}}{3}+C.

Passo 6

Resolver (e): \displaystyle \int \operatorname{sen}^{5} x \cos x\,dx.
Aqui a substituição natural é u=\operatorname{sen} x porque du=\cos x\,dx aparece multiplicando. Técnica padrão para integrar potências de seno ou cosseno quando uma delas tem derivada presente.
Fazendo u=\operatorname{sen} x, du=\cos x\,dx:
\int \operatorname{sen}^{5} x \cos x\,dx=\int u^{5}\,du=\frac{u^{6}}{6}+C.
Voltando:
\frac{\operatorname{sen}^{6} x}{6}+C.

Passo 7

Resolver (f): \displaystyle \int x^{2} \sqrt{2+x}\,dx.
Técnica: trocar a raiz por uma nova variável, u=2+x, para transformar em potências de u. Assim x=u-2 e dx=du. Substituímos e expandimos polinômio antes de integrar termo a termo (isso facilita calcular sem calculadora).
Fazendo u=2+x:
x=u-2,\qquad x^{2}=(u-2)^{2}=u^{2}-4u+4,\qquad dx=du.
A integral fica
\int x^{2}\sqrt{2+x}\,dx=\int (u^{2}-4u+4)\,u^{1/2}\,du=\int \big(u^{5/2}-4u^{3/2}+4u^{1/2}\big)\,du.
Integramos termo a termo usando \int u^{\alpha}\,du=\frac{u^{\alpha+1}}{\alpha+1}:
\int u^{5/2}\,du=\frac{u^{7/2}}{7/2}=\frac{2}{7}u^{7/2},
-4\int u^{3/2}\,du=-4\cdot\frac{u^{5/2}}{5/2}=-4\cdot\frac{2}{5}u^{5/2}=-\frac{8}{5}u^{5/2},
4\int u^{1/2}\,du=4\cdot\frac{u^{3/2}}{3/2}=4\cdot\frac{2}{3}u^{3/2}=\frac{8}{3}u^{3/2}.
Somando:
\frac{2}{7}u^{7/2}-\frac{8}{5}u^{5/2}+\frac{8}{3}u^{3/2}+C.
Voltando a x com u=2+x:
\frac{2}{7}(x+2)^{7/2}-\frac{8}{5}(x+2)^{5/2}+\frac{8}{3}(x+2)^{3/2}+C.

Passo 8

Resolver (g): \displaystyle \int t(1-t)^{3 / 2}\,dt.
Uma forma eficiente é fazer u=1-t (porque aparece 1-t em potência). Então du=-dt e t=1-u. Essa mudança converte a integral em soma de potências de u que são fáceis.
Fazendo u=1-t:
dt=-du,\qquad t=1-u.
Substituindo:
\int t(1-t)^{3/2}\,dt=\int (1-u)u^{3/2}(-du)=\int (u-1)u^{3/2}\,du.
Expandindo:
(u-1)u^{3/2}=u^{5/2}-u^{3/2}.
Integramos:
\int (u^{5/2}-u^{3/2})\,du=\frac{u^{7/2}}{7/2}-\frac{u^{5/2}}{5/2}=\frac{2}{7}u^{7/2}-\frac{2}{5}u^{5/2}+C.
Voltando a t com u=1-t:
\frac{2}{7}(1-t)^{7/2}-\frac{2}{5}(1-t)^{5/2}+C.

Passo 9

Resolver (h): \displaystyle \int \frac{1}{\sqrt{x}(1+x)}\,dx.
Truque: usar u=\sqrt{x} para eliminar a raiz. Se u=\sqrt{x} então x=u^{2}, dx=2u\,du. Substituindo:
\int \frac{1}{\sqrt{x}(1+x)}\,dx=\int \frac{1}{u(1+u^{2})}\cdot(2u\,du)=\int \frac{2}{1+u^{2}}\,du.
A integral de 1/(1+u^{2}) é \arctan u. Então
\int \frac{2}{1+u^{2}}\,du=2\arctan u +C.
Voltando para x:
2\arctan(\sqrt{x})+C.

Passo 10

Resolver (i): \displaystyle \int \frac{x\cos\sqrt{1+x^{2}}}{\sqrt{1+x^{2}}}\,dx.
Observação: aparece \sqrt{1+x^{2}}; também x\,dx sugere que se fizermos u=1+x^{2} então du=2x\,dx e poderemos simplificar. Procedimento em duas etapas (duas substituições encadeadas) ou pensar diretamente: deixar u=1+x^{2}, em seguida v=\sqrt{u}.
Primeira substituição: u=1+x^{2} du=2x\,dx ou x\,dx=\frac{du}{2}. A integral fica
\int \frac{x\cos\sqrt{1+x^{2}}}{\sqrt{1+x^{2}}}\,dx=\frac{1}{2}\int \frac{\cos\sqrt{u}}{\sqrt{u}}\,du.
Segunda substituição: coloque v=\sqrt{u} (ou v=\sqrt{u}\Rightarrow u=v^{2}, du=2v\,dv). Substituindo:
\frac{1}{2}\int \frac{\cos v}{v}\cdot(2v\,dv)=\int \cos v\,dv.
A primitive de \cos v é \sin v. Voltando para x: v=\sqrt{u}=\sqrt{1+x^{2}}, então a primitiva é
\sin(\sqrt{1+x^{2}})+C.

Resposta

\ln|1+\operatorname{sen} x|+C
2e^{\sqrt{x}}+C
-\dfrac{1}{2(x^{2}+2x+2)}+C
\dfrac{(\ln x)^{3}}{3}+C
\dfrac{\operatorname{sen}^{6}x}{6}+C
\dfrac{2}{7}(x+2)^{7/2}-\dfrac{8}{5}(x+2)^{5/2}+\dfrac{8}{3}(x+2)^{3/2}+C
\dfrac{2}{7}(1-t)^{7/2}-\dfrac{2}{5}(1-t)^{5/2}+C
2\arctan(\sqrt{x})+C
\sin\!\big(\sqrt{1+x^{2}}\big)+C

Exercícios relacionados