Calcule as seguintes integrais indefinidas:
a)
.
b)
.
c)
.
d)
.
e)
.
f)
.
g)
.
h)
.
i)
.
a)
b)
c)
d)
e)
f)
g)
h)
i)
Passo 1
Você me deu nove integrais indefinidas para calcular. Vou listar cada uma claramente (somente o que o enunciado pede e as expressões dadas):
Vou resolver cada integral passo a passo, explicando as ideias (substituições, regras de integração, e por que funcionam) e mostrando os cálculos detalhados.
Passo 2
Resolver (a):
Idea / ferramenta: substituição simples (u-substitution). A ideia da substituição é reconhecer uma parte da expressão cuja derivada aparece multiplicando-a; então trocamos por uma nova variável para simplificar. Formalmente, se
e
, então
.
Aqui vemos
no denominador e
multiplicando: a derivada de
é
. Então escolhemos
Calculamos
. Assim a integral vira
Integramos usando a primitiva de
, que é
:
Voltando à variável
:
Passo 3
Resolver (b):
Idea: usar substituição
(útil sempre que aparece
e
no denominador). Lembrete: se
então
e
.
Fazendo a substituição:
Substituímos na integral:
A primitive de
é
. Voltando para
:
Passo 4
Resolver (c):
Observação: o denominador é uma função cujo derivado é parecido com o numerador. Verifique: se
, então
. Portanto
. Essa é a técnica padrão: reconhecer
no numerador.
Fazendo a substituição
:
Integramos usando a regra da potência:
(para
). Aqui
, então
Voltando:
Passo 5
Resolver (d):
Técnica: substituição
. Justificativa: derivada de
é
, que aparece no integrando, então simplifica direto.
Fazendo
, obtemos
. Então
Integrando com a regra da potência:
Voltando:
Passo 6
Resolver (e):
Aqui a substituição natural é
porque
aparece multiplicando. Técnica padrão para integrar potências de seno ou cosseno quando uma delas tem derivada presente.
Fazendo
,
:
Voltando:
Passo 7
Resolver (f):
Técnica: trocar a raiz por uma nova variável,
, para transformar em potências de
. Assim
e
. Substituímos e expandimos polinômio antes de integrar termo a termo (isso facilita calcular sem calculadora).
Fazendo
:
A integral fica
Integramos termo a termo usando
:
Somando:
Voltando a
com
:
Passo 8
Resolver (g):
Uma forma eficiente é fazer
(porque aparece
em potência). Então
e
. Essa mudança converte a integral em soma de potências de
que são fáceis.
Fazendo
:
Substituindo:
Expandindo:
Integramos:
Voltando a
com
:
Passo 9
Resolver (h):
Truque: usar
para eliminar a raiz. Se
então
,
. Substituindo:
A integral de
é
. Então
Voltando para
:
Passo 10
Resolver (i):
Observação: aparece
; também
sugere que se fizermos
então
e poderemos simplificar. Procedimento em duas etapas (duas substituições encadeadas) ou pensar diretamente: deixar
, em seguida
.
Primeira substituição:
dá
ou
. A integral fica
Segunda substituição: coloque
(ou
). Substituindo:
A primitive de
é
. Voltando para
:
, então a primitiva é