Use as seguintes reações:
\begin{array}{ll} \mathrm{CH}_{4}(\mathrm{~g}) \rightarrow \mathrm{CH}_{3}(\mathrm{~g})+\mathrm{H}(\mathrm{~g}) & \Delta \mathrm{H}^{\circ}=438,47 \mathrm{~kJ} / \mathrm{mol} \\\ \mathrm{CH}_{3}(\mathrm{~g}) \rightarrow \mathrm{CH}_{2}(\mathrm{~g})+\mathrm{H}(\mathrm{~g}) & \Delta \mathrm{H}^{\circ}=462,65 \mathrm{~kJ} / \mathrm{mol} \\\ \mathrm{CH}_{2}(\mathrm{~g}) \rightarrow \mathrm{CH}(\mathrm{~g})+\mathrm{H}(\mathrm{~g}) & \Delta \mathrm{H}^{\circ}=423,40 \mathrm{~kJ} / \mathrm{mol} \\\ \mathrm{CH}(\mathrm{~g}) \rightarrow \mathrm{C}(\mathrm{~g})+\mathrm{H}(\mathrm{~g}) & \Delta \mathrm{H}^{\circ}=338,85 \mathrm{~kJ} / \mathrm{mol} \end{array}
para determinar \Delta \mathrm{H}^{\circ} para degradação de metano em seus elementos e estimar a energia de ligação C-H. Comparar o valor da energia de ligação com um valor obtido da literatura.

Passo 1

O enunciado pede duas coisas: (1) determinar o valor de \Delta H^{\circ} para a degradação do metano em seus elementos gasosos (ou seja, a reação completa \mathrm{CH}_{4}(\mathrm{g}) \rightarrow \mathrm{C}(\mathrm{g}) + 4\mathrm{H}(\mathrm{g})); (2) estimar a energia de ligação C–H a partir dos dados fornecidos e comparar esse valor com um valor de literatura.
As informações dadas (retiradas diretamente do enunciado) são as quatro entalpias de dissociação passo a passo, todas em \mathrm{kJ} / \mathrm{mol}:
\begin{array}{l} \mathrm{CH}_{4}(\mathrm{g}) \rightarrow \mathrm{CH}_{3}(\mathrm{g})+\mathrm{H}(\mathrm{g}),\\ \Delta H^{\circ}=438,47\\ \mathrm{kJ} / \mathrm{mol} \\\ \mathrm{CH}_{3}(\mathrm{g}) \rightarrow \mathrm{CH}_{2}(\mathrm{g})+\mathrm{H}(\mathrm{g}),\\ \Delta H^{\circ}=462,65\\ \mathrm{kJ} / \mathrm{mol} \\\ \mathrm{CH}_{2}(\mathrm{g}) \rightarrow \mathrm{CH}(\mathrm{g})+\mathrm{H}(\mathrm{g}),\\ \Delta H^{\circ}=423,40\\ \mathrm{kJ} / \mathrm{mol} \\\ \mathrm{CH}(\mathrm{g}) \rightarrow \mathrm{C}(\mathrm{g})+\mathrm{H}(\mathrm{g}),\\ \Delta H^{\circ}=338,85\\ \mathrm{kJ} / \mathrm{mol} \end{array}

Passo 2

Explicação da ideia física/termodinâmica que vamos usar (passo-a-passo didático): quando uma grandeza térmica como a entalpia é uma função de estado, a variação total de entalpia para uma transformação que pode ser decomposta em etapas é simplesmente a soma das variações de entalpia das etapas individuais. Isso é o enunciado de Hess de forma prática. Em fórmulas:
\Delta H_{\text{total}}^{\circ}=\sum_{i}\Delta H_{i}^{\circ}.
Aqui as etapas dadas nos levam, somadas, à reação \mathrm{CH}_{4}(\mathrm{g}) \rightarrow \mathrm{C}(\mathrm{g}) + 4\mathrm{H}(\mathrm{g}). Portanto basta somar as quatro entalpias fornecidas para obter \Delta H^{\circ} da degradação em elementos.

Passo 3

Somar as entalpias etapa a etapa, mostrando as contas explícitas (cada número está em \mathrm{kJ} / \mathrm{mol}):
\begin{aligned} \Delta H_{1}^{\circ}&=438,47 \\\ \Delta H_{2}^{\circ}&=462,65 \\\ \Delta H_{3}^{\circ}&=423,40 \\\ \Delta H_{4}^{\circ}&=338,85 \end{aligned}
Agora a soma:
\begin{aligned} \Delta H_{\text{total}}^{\circ} &=438,47+462,65+423,40+338,85 \\\ &=901,12+423,40+338,85 \quad(\text{porque }438,47+462,65=901,12)\\\ &=1324,52+338,85 \quad(\text{porque }901,12+423,40=1324,52)\\\ &=1663,37\\ \mathrm{kJ} / \mathrm{mol}. \end{aligned}

Passo 4

Interpretação do resultado do passo anterior: o valor obtido é
\Delta H^{\circ}\big(\mathrm{CH}_{4}(\mathrm{g}) \rightarrow \mathrm{C}(\mathrm{g})+4\mathrm{H}(\mathrm{g})\big)=1663,37\\ \mathrm{kJ} / \mathrm{mol}.
Isso significa que, no gás, para separar o carbono e os quatro átomos de hidrogênio como átomos isolados (clivagem homolítica sequencial), é necessário fornecer essa quantidade de energia por mol de \mathrm{CH}_{4}.

Passo 5

Agora sobre estimar a energia de ligação C–H: primeiro explico os conceitos para você diferenciar as opções.
  • Definição de energia de dissociação homogênea (BDE, bond dissociation energy): energia necessária para quebrar uma ligação A–B homoliticamente em átomos (A· + B·) na fase considerada; depende do par químico específico e do estado do resto da molécula. No caso de \mathrm{CH}_{4} existe uma energia para a primeira clivagem de C–H (que transforma \mathrm{CH}_{4} em \mathrm{CH}_{3} + H). Esse valor aparece explicitamente no enunciado como 438,47\\ \mathrm{kJ} / \mathrm{mol}.
  • Energia média de ligação C–H em uma molécula polifuncional (ou “energia média de ligação”): às vezes calcula-se a energia total para romper todas as ligações C–H e divide-se pelo número de ligações para obter uma estimativa média. Essa média é útil como “valor médio de ligação” e é frequentemente a que aparece em tabelas como “energia média da ligação C–H em hidrocarbonetos”.
Temos, portanto, duas maneiras razoáveis de reportar uma “energia de ligação C–H” a partir dos dados:
A) Usar a primeira clivagem (BDE da primeira C–H em \mathrm{CH}_{4}), que é \Delta H_{1}^{\circ}=438,47\\ \mathrm{kJ} / \mathrm{mol}. Essa é a BDE “específica” da ligação em \mathrm{CH}_{4}.
B) Usar a energia total dividida por 4 para obter uma energia média por ligação:
E_{\text{média}}=\frac{\Delta H_{\text{total}}^{\circ}}{4}.é

Passo 6

Calcule a energia média por ligação (método B) explicitamente:
E_{\text{média}}=\frac{1663,37}{4}=415,8425\\ \mathrm{kJ} / \mathrm{mol}.é
Arredondando de forma consistente com os dados iniciais (duas casas decimais), temos E_{\text{média}}=415,84\\ \mathrm{kJ} / \mathrm{mol}é.

Passo 7

Apresente também a BDE da primeira clivagem (método A), que foi dada no enunciado:
\text{BDE}_{\text{1ª}}(\mathrm{C}\!-\!\mathrm{H}\\ \text{em }\mathrm{CH}_{4})=438,47\\ \mathrm{kJ} / \mathrm{mol}.ª

Passo 8

Comparação com valores de literatura (explicando o que é comum encontrar): tabelas e manuais de química geralmente reportam (valores típicos, em fase gasosa)
  • BDE da ligação C–H em \mathrm{CH}_{4} (primeira clivagem) aproximadamente \sim 439\\ \mathrm{kJ} / \mathrm{mol} (que corresponde a cerca de 105\\ \mathrm{kcal} / \mathrm{mol}).
  • Energia média de ligação C–H em hidrocarbonetos (valor médio tabelado) tipicamente \sim 413\\ \mathrm{kJ} / \mathrm{mol} (≈ 99\\ \mathrm{kcal} / \mathrm{mol}).
Comparando:
  • Nosso valor de BDE da primeira clivagem 438,47\\ \mathrm{kJ} / \mathrm{mol} está praticamente idêntico ao valor de literatura \sim 439\\ \mathrm{kJ} / \mathrm{mol} (diferença ≈ 0,5\\ \mathrm{kJ} / \mathrm{mol}, isto é desprezível para efeitos práticos).
  • Nossa energia média por ligação 415,84\\ \mathrm{kJ} / \mathrm{mol} está muito próxima do valor médio tabelado de \sim 413\\ \mathrm{kJ} / \mathrm{mol} (diferença ≈ 2,8\\ \mathrm{kJ} / \mathrm{mol}, pequena).
Conclusão interpretativa: os números calculados a partir dos dados fornecidos são consistentes com os valores de literatura; a pequena diferença entre as quatro clivagens individuais mostra que as energias mudam conforme a espécie radical que resta após cada remoção de H, por isso faz sentido distinguir BDE específica (primeira clivagem) e energia média por ligação.

Resposta

\Delta H^{\circ}\big(\mathrm{CH}_{4}(\mathrm{g}) \rightarrow \mathrm{C}(\mathrm{g})+4\mathrm{H}(\mathrm{g})\big)=1663,37\\ \mathrm{kJ} / \mathrm{mol}
Estimativas de energia de ligação C–H: energia média por ligação =\dfrac{1663,37}{4}=415,84\\ \mathrm{kJ} / \mathrm{mol}; BDE da 1ª clivagem (C–H em \mathrm{CH}_{4}) =438,47\\ \mathrm{kJ} / \mathrm{mol}. Comparação com literatura: \text{BDE}_{\text{lit}} (C–H em \mathrm{CH}_{4}) \approx 439\\ \mathrm{kJ} / \mathrm{mol} (coincide com nossa BDE da 1ª clivagem) e energia média C–H em hidrocarbonetos \approx 413\\ \mathrm{kJ} / \mathrm{mol} (nosso valor médio 415,84\\ \mathrm{kJ} / \mathrm{mol} é muito próximo).

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