Determine se cada uma das funções abaixo é diferenciável no ponto
Passo 1
O enunciado define a função
e pede para verificar se
f é diferenciável em
x0=0 .
Conteúdo: diferenciabilidade em um ponto pelo limite do quociente de diferença.
Conteúdo: diferenciabilidade em um ponto pelo limite do quociente de diferença.
Passo 2
Antes de tudo, checamos a continuidade em
0 . Para
xneq0 temos
logo
lvert f(x)rvert<= x^2 . Como
x^2to0 quando
xto0 , segue
limxto0f(x)=0=f(0) , ou seja,
f é contínua em
0 .
Passo 3
Para a diferenciabilidade, consideramos o quociente de diferença
pois
tfracx^3x,lvert xrvert=|x| .
Passo 4
Usamos o fato de que
lvert sin(cdot)rvert<=1 . Então
Como
lvert xrvertto0 quando
xto0 , pelo Teorema do Confronto
Passo 5
Como o limite do quociente de diferença existe (vale
0 ),
f é diferenciável em
0 e
Resposta
A função é diferenciável em
x0=0 e
f'(0)=0 .