Determine se cada uma das funções abaixo é diferenciável no ponto

Passo 1

O enunciado define a função
f(x)= dfracx^3,sin!l(tfrac1lvert xrvertr)lvert xrvert,&xneq0, 0,&x=0,
e pede para verificar se f é diferenciável em x0=0.
Conteúdo: diferenciabilidade em um ponto pelo limite do quociente de diferença.

Passo 2

Antes de tudo, checamos a continuidade em 0. Para xneq0 temos
f(x)=x^3lvert xrvert,sin!l(tfrac1lvert xrvertr) =x^2,xlvert xrvert,sin!l(tfrac1lvert xrvertr),
logo lvert f(x)rvert<= x^2. Como x^2to0 quando xto0, segue limxto0f(x)=0=f(0), ou seja, f é contínua em 0.

Passo 3

Para a diferenciabilidade, consideramos o quociente de diferença
f(x)-f(0)x =f(x)x =x^3x,lvert xrvert,sin!l(tfrac1lvert xrvertr) =l|xr|,sin!l(tfrac1lvert xrvertr),
pois tfracx^3x,lvert xrvert=|x|.

Passo 4

Usamos o fato de que lvert sin(cdot)rvert<=1. Então
l|f(x)-f(0)xr| =l|xr|;l|sin!l(tfrac1lvert xrvertr)r| <=l|xr|
Como lvert xrvertto0 quando xto0, pelo Teorema do Confronto
limxto0f(x)-f(0)x=0

Passo 5

Como o limite do quociente de diferença existe (vale 0), f é diferenciável em 0 e
f'(0)=0

Resposta

A função é diferenciável em x0=0 e f'(0)=0.

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