Verifique que as séries abaixo são convergentes. Justifique.
sumn=1^+infty 1n raiz[3]n^2+3

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que a série
sumn=1^infty1nraiz[3]n^2+3
é convergente. Vamos usar o conteúdo de séries numéricas, em particular o teste de comparação e o fato de que a série p,
sumn=1^infty1n^p,
converge se, e só se, p>1.

Passo 2

Observamos que, para todo n>=1, vale
n^2+3;>=;n^2,
logo, elevando ambos os lados a 1/3, temos
raiz[3]n^2+3;>=;raiz[3]n^2 ;=;n^2/3
Daí
1nraiz[3]n^2+3 ;<=; 1ncdot n^2/3 ;=; 1n^1+2/3 ;=; 1n^5/3

Passo 3

Como a série
sumn=1^infty1n^5/3
é uma série p com p=5/3>1, ela converge. Pelo teste da comparação (termo a termo não-negativo e
1nraiz[3]n^2+3<=1n^5/3), concluímos que a série original também converge.

Resposta

A série sumn=1^infty1nraiz[3]n^2+3 é convergente por comparação com a série p de termo geral tfrac1n^5/3.

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