Use a série binomial para encontrar a série de Maclaurin e respectivo raio de convergência de
f(x)=(1+9 x^2)^-1 / 2.

Passo 1

Este exercício pede a série de Maclaurin de f(x)=(1+9x^2)^-1/2 usando a série binomial, além de determinar o raio de convergência. O conteúdo principal aqui é a expansão binomial geral para expoente arbitrário.

Passo 2

A teoria que vamos usar é: para |u|<1 vale a série binomial
(1+u)^alpha=sumn=0^infty binomalphanu^n,
onde
binomalphan=alpha(alpha-1)cdots(alpha-n+1)n!

Passo 3

No nosso caso, fazemos alpha=-tfrac12 e u=9x^2. A condição de convergência será |u|<1, ou seja |9x^2|<1.

Passo 4

Substituindo na fórmula da série binomial, obtemos
f(x)=(1+9x^2)^-1/2=sumn=0^infty binom-tfrac12n(9x^2)^n =sumn=0^infty binom-tfrac12n9^n x^2n
Se quisermos ver os primeiros termos, temos:
f(x)=1-12cdot 9x^2+(-tfrac12)(-tfrac32)2!,9^2x^4+cdots

Passo 5

Para achar o raio de convergência, usamos a condição |u|<1:
|9x^2|<1Longrightarrow|x|<13
Logo, o raio de convergência é R=tfrac13.

Resposta

f(x)=sumn=0^infty binom-tfrac12n9^n x^2n, R=tfrac13

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