Use a série binomial para encontrar a série de Maclaurin e respectivo raio de convergência de
.
Passo 1
Este exercício pede a série de Maclaurin de
usando a série binomial, além de determinar o raio de convergência. O conteúdo principal aqui é a expansão binomial geral para expoente arbitrário.
Passo 2
A teoria que vamos usar é: para
vale a série binomial
onde
Passo 3
No nosso caso, fazemos
e
. A condição de convergência será
, ou seja
.
Passo 4
Substituindo na fórmula da série binomial, obtemos
Se quisermos ver os primeiros termos, temos:
Passo 5
Para achar o raio de convergência, usamos a condição
:
Logo, o raio de convergência é
.