Use a série binomial para expandir:
(b) \frac{1}{\sqrt{1-x^{2}}}

Passo 1

O enunciado pede para expandir a função \frac{1}{\sqrt{1-x^{2}}} usando a série binomial.
Dados relevantes que o enunciado fornece (explícitos ou implícitos): \frac{1}{\sqrt{1-x^{2}}}=(1-x^{2})^{-1/2}. Nada mais é dado; a tarefa é escrever essa função como soma de potências de x.

Passo 2

Apresentando a ferramenta principal: a série binomial generalizada. Ela diz que, para qualquer número real (ou complexo) \alpha e para |t|<1,
(1+t)^{\alpha}=\sum_{n=0}^{\infty}\binom{\alpha}{n}t^{n},
onde o coeficiente binomial generalizado é definido por
\binom{\alpha}{n}=\frac{\alpha(\alpha-1)(\alpha-2)\cdots(\alpha-n+1)}{n!}
para n\ge 1 e \binom{\alpha}{0}=1.
Explicação didática: essa é a mesma ideia do binômio de Newton para expoentes inteiros, só que estendida para expoentes quaisquer; os coeficientes viram produtos decrescentes de \alpha divididos por n!. A série converge quando |t|<1.

Passo 3

Identificamos \alpha e t no nosso problema. Como \frac{1}{\sqrt{1-x^{2}}}=(1-x^{2})^{-1/2}, tomamos
\alpha=-\tfrac{1}{2},\qquad t=-x^{2}.
Aplicando a série binomial com esses valores (válida quando |t|<1, isto é |x|<1), obtemos
(1-x^{2})^{-1/2}=\sum_{n=0}^{\infty}\binom{-1/2}{n}(-x^{2})^{n}.

Passo 4

Simplificamos a potência (-x^{2})^{n} e o coeficiente:
(-x^{2})^{n}=(-1)^{n}x^{2n},
então
(1-x^{2})^{-1/2}=\sum_{n=0}^{\infty}\binom{-1/2}{n}(-1)^{n}x^{2n}.
Agora vamos achar uma forma fechada para \binom{-1/2}{n}. Usando a definição:
\binom{-1/2}{n}=\frac{(-1/2)(-1/2-1)(-1/2-2)\cdots(-1/2-(n-1))}{n!}.
Fatorando os sinais e os denominadores 2, vemos que o numerador vale
(-1)^n\frac{1\cdot 3\cdot 5\cdots(2n-1)}{2^{n}}.
Assim
\binom{-1/2}{n}=(-1)^n\frac{1\cdot 3\cdot 5\cdots(2n-1)}{2^{n}n!}.

Passo 5

Relacionamos o produto 1\cdot3\cdot5\cdots(2n-1) com fatoriais. Uma identidade útil é
(2n)! = 2^{n}n!\,(1\cdot 3\cdot 5\cdots(2n-1)).
Dessa identidade isolamos o produto ímpar:
1\cdot 3\cdot 5\cdots(2n-1)=\frac{(2n)!}{2^{n}n!}.
Substituindo em \binom{-1/2}{n} obtemos
\binom{-1/2}{n}=(-1)^n\frac{(2n)!}{2^{n}n!\;2^{n}n!}=(-1)^n\frac{(2n)!}{4^{n}(n!)^{2}}.

Passo 6

Voltando à série, temos um fator (-1)^{n} vindo de \binom{-1/2}{n} e outro de (-1)^{n} vindo de (-x^{2})^{n}. Eles se multiplicam e se anulam:
\binom{-1/2}{n}(-1)^{n}= \bigl((-1)^n\frac{(2n)!}{4^{n}(n!)^{2}}\bigr)(-1)^{n}= \frac{(2n)!}{4^{n}(n!)^{2}}.
Portanto a série fica
(1-x^{2})^{-1/2}=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(2n)!}{4^{n}(n!)^{2}}\,x^{2n}.

Passo 7

Podemos reconhecer o coeficiente \dfrac{(2n)!}{4^{n}(n!)^{2}} como \dfrac{1}{4^{n}}\binom{2n}{n}, já que \binom{2n}{n}=\dfrac{(2n)!}{(n!)^{2}}. Assim uma forma muito comum de escrever a expansão é
\frac{1}{\sqrt{1-x^{2}}}=\sum_{n=0}^{\infty}\binom{2n}{n}\frac{x^{2n}}{4^{n}}.
Os primeiros termos (para ficar concreto) são:
1+\tfrac{1}{2}x^{2}+\tfrac{3}{8}x^{4}+\tfrac{5}{16}x^{6}+\cdots

Passo 8

Sobre convergência: a série foi obtida da série binomial com t=-x^{2}, que converge para |t|<1. Logo a expansão vale para |x|<1. Nos pontos x=\pm 1 a função tem singularidade (diverge), então a série não converge nesses pontos.

Resposta

\frac{1}{\sqrt{1-x^{2}}}=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(2n)!}{4^{n}(n!)^{2}}\,x^{2n}=\sum_{n=0}^{\infty}\binom{2n}{n}\frac{x^{2n}}{4^{n}}\qquad(|x|<1)

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