Use a série binomial para expandir:
(b)
(b)
Passo 1
O enunciado pede para expandir a função
usando a série binomial.
Dados relevantes que o enunciado fornece (explícitos ou implícitos): . Nada mais é dado; a tarefa é escrever essa função como soma de potências de
.
Dados relevantes que o enunciado fornece (explícitos ou implícitos):
Passo 2
Apresentando a ferramenta principal: a série binomial generalizada. Ela diz que, para qualquer número real (ou complexo)
e para
,
onde o coeficiente binomial generalizado é definido por
para
e
.
Explicação didática: essa é a mesma ideia do binômio de Newton para expoentes inteiros, só que estendida para expoentes quaisquer; os coeficientes viram produtos decrescentes de divididos por
. A série converge quando
.
Explicação didática: essa é a mesma ideia do binômio de Newton para expoentes inteiros, só que estendida para expoentes quaisquer; os coeficientes viram produtos decrescentes de
Passo 3
Identificamos
e
no nosso problema. Como
, tomamos
Aplicando a série binomial com esses valores (válida quando
, isto é
), obtemos
Passo 4
Simplificamos a potência
e o coeficiente:
então
Agora vamos achar uma forma fechada para
. Usando a definição:
Fatorando os sinais e os denominadores
, vemos que o numerador vale
Assim
Passo 5
Relacionamos o produto
com fatoriais. Uma identidade útil é
Dessa identidade isolamos o produto ímpar:
Substituindo em
obtemos
Passo 6
Voltando à série, temos um fator
vindo de
e outro de
vindo de
. Eles se multiplicam e se anulam:
Portanto a série fica
Passo 7
Podemos reconhecer o coeficiente
como
, já que
. Assim uma forma muito comum de escrever a expansão é
Os primeiros termos (para ficar concreto) são:
Passo 8
Sobre convergência: a série foi obtida da série binomial com
, que converge para
. Logo a expansão vale para
. Nos pontos
a função tem singularidade (diverge), então a série não converge nesses pontos.