Resolva:
\frac{d y}{d x}=y \ln (x).

Passo 1

O enunciado apresenta a equação diferencial
\frac{dy}{dx}=y\,\ln(x).
Este é um caso clássico de equação separável: vamos separar as variáveis y e x e depois integrar.

Passo 2

Reescrevemos isolando dy e dx:
\frac{1}{y}\,\frac{dy}{dx} = \ln(x) \quad\Longrightarrow\quad \frac{dy}{y} = \ln(x)\,dx.

Passo 3

Integramos ambos os lados. À esquerda,
\int \frac{dy}{y} = \ln\lvert y\rvert,
e à direita usamos integração por partes com u=\ln(x), dv=dx:
\int \ln(x)\,dx = x\ln(x) - x + C.
Logo
\ln\lvert y\rvert = x\ln(x) - x + C.

Passo 4

Exponenciando,
\lvert y\rvert = e^{\,x\ln(x)-x+C} = e^C\,e^{\,x\ln(x)-x}.
Definindo K=\pm e^C (constante arbitrária), temos
y = K\,e^{\,x\ln(x)-x}.
Como e^{\,x\ln(x)}=x^x, a solução fica
y = K\,x^x\,e^{-x}.

Resposta

\boxed{y = K\,x^x\,e^{-x},}
onde K é constante arbitrária.

Exercícios relacionados