Use uma série de Laurent adequada e calcule o resíduo indicado.
f(z)=4 z-6z(2-z) ; Res(f(z), 0)

Passo 1

A questão nos dá a função f(z)=4z-6z(2-z) e pede o resíduo em z=0. O conteúdo é série de Laurent e precisamos do coeficiente de z^-1 na expansão ao redor de 0. Vamos usar a série geométrica em |z|<2.

Passo 2

Primeiro escrevemos 1/(2-z) como série geométrica:
12-z=12cdot11-tfracz2=sumn=0^inftyz^n2^n+1(|z|<2)

Passo 3

Agora reescrevemos f(z) usando essa expansão:
f(z)=4z-6zcdot12-z=gl(2-3zgr)sumn=0^inftyz^n2^n
Multiplicando, obtemos
f(z)=sumn=0^infty2z^n2^n-sumn=0^infty3z^n-12^n

Passo 4

O termo em z^-1 só aparece na segunda soma quando n=0:
-3z^-12^0=-3z^-1
Portanto o coeficiente de z^-1 (o resíduo) é -3.

Resposta

-3

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