(a) Use a Fórmula (12) para determinar uma série que convirja para \ln 3.
(b) Aproxime ln 3 usando os dois primeiros termos da série. Arredonde sua resposta até três casas decimais e compare o resultado com aquele produzido diretamente por uma calculadora.

Passo 1

O enunciado pede (a) uma série que converge para \ln 3 usando a Fórmula (12), que é a expansão em série da função logarítmica do tipo
\ln\frac{1+x}{1-x}=2\sum_{n=0}^{\infty}\frac{x^{2n+1}}{2n+1},\quad |x|<1,
e (b) a aproximação de \ln3 pelos dois primeiros termos dessa série, comparando o resultado com o valor obtido por calculadora.

Passo 2

Para aplicar essa fórmula a \ln3, escrevemos
\ln3=\ln\frac{3}{1}=\ln\frac{1+x}{1-x}
de modo que
\frac{1+x}{1-x}=3.
Resolvendo para x, temos
1+x=3(1-x)\implies 1+x=3-3x\implies 4x=2\implies x=\tfrac12.

Passo 3

Substituindo x=\tfrac12 na série, obtemos
\ln3 =2\sum_{n=0}^{\infty}\frac{\bigl(\tfrac12\bigr)^{2n+1}}{2n+1} =2\Bigl(\frac{\tfrac12}{1}+\frac{\bigl(\tfrac12\bigr)^{3}}{3}+\frac{\bigl(\tfrac12\bigr)^{5}}{5}+\cdots\Bigr).

Passo 4

Os dois primeiros termos da soma são
2\Bigl(\tfrac12+\frac{(\tfrac12)^{3}}{3}\Bigr) =2\Bigl(\tfrac12+\tfrac{1}{3\cdot8}\Bigr) =2\Bigl(\tfrac12+\tfrac{1}{24}\Bigr) =2\cdot0{,}541667 =1{,}083334.

Passo 5

Arredondando para três casas decimais, a aproximação fica 1{,}083. Pelo teclado, \ln3\approx1{,}098612. A diferença é
1{,}098612-1{,}083=0{,}015612,
ou seja, a aproximação com dois termos subestima \ln3 em cerca de 0{,}0156.

Resposta

(a) \displaystyle \ln3=2\sum_{n=0}^{\infty}\frac{\bigl(\tfrac12\bigr)^{2n+1}}{2n+1}.
(b) Usando os dois primeiros termos, \ln3\approx1{,}083, comparado a 1{,}098612 da calculadora.

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