Dê a série de Taylor da função f em torno x0 dado, indicando os raios de convergência:
f(x)=raizx, x0=16.

Passo 1

A questão pede a série de Taylor de f(x)=raizx em torno de x0=16 e o respectivo raio de convergência. Vamos usar a definição de série de Taylor e, de modo prático, a série binomial para expoentes fracionários.

Passo 2

Começamos reescrevendo f(x) de modo a aplicar a expansão binomial. Note que
f(x)=raizx=raiz16+(x-16)=raiz16,raiz1+x-1616=4raiz1+u, u=x-1616

Passo 3

A teoria da série binomial diz que, para |u|<1 e qualquer alpha,
(1+u)^alpha=sumn=0^inftybinomalphanu^n,binomalphan=alpha(alpha-1)cdots(alpha-n+1)n!

Passo 4

Aplicando com alpha=1/2 e multiplicando por 4 temos a série de Taylor desejada:
f(x)=4sumn=0^inftybinom1/2nl(x-1616r)^n

Passo 5

Para o raio de convergência, a condição de validade da série binomial é |u|<1, ou seja,
l|x-1616r|<1Longrightarrow |x-16|<16

Resposta

raizx=4sumn=0^inftybinom1/2nl(x-1616r)^n,válido para |x-16|<16á

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