Dê a série de Taylor da função
em torno
dado, indicando os raios de convergência:
.
Passo 1
A questão pede a série de Taylor de
em torno de
e o respectivo raio de convergência. Vamos usar a definição de série de Taylor e, de modo prático, a série binomial para expoentes fracionários.
Passo 2
Começamos reescrevendo
de modo a aplicar a expansão binomial. Note que
Passo 3
A teoria da série binomial diz que, para
e qualquer
,
Passo 4
Aplicando com
e multiplicando por 4 temos a série de Taylor desejada:
Passo 5
Para o raio de convergência, a condição de validade da série binomial é
, ou seja,