Use uma série de Maclaurin na Tabela 1 para obter a série de Maclaurin da função dada.
Passo 1
Nesse exercício vamos encontrar a série de Maclaurin de f(x)=x e^{-x}. O conteúdo é séries de Maclaurin e usaremos a expansão de e^x da Tabela 1. Precisamos trocar x por −x para ter e^{-x} e depois multiplicar por x.
Passo 2
A série de Maclaurin é a expansão de Taylor em torno de x=0. Da tabela, temos
Passo 3
Para obter e^{-x}, basta substituir x por −x na série de e^x. Assim:
Passo 4
Agora multiplicamos termo a termo por x para chegar em f(x)=x e^{-x}:
Passo 5
Para deixar a notação mais habitual, reindexamos definindo k=n+1. Quando n=0, k=1. Substituindo n=k−1 na soma, obtemos: