Use uma série de Maclaurin na Tabela 1 para obter a série de Maclaurin da função dada.
f(x)=x e^-x

Passo 1

Nesse exercício vamos encontrar a série de Maclaurin de f(x)=x e^{-x}. O conteúdo é séries de Maclaurin e usaremos a expansão de e^x da Tabela 1. Precisamos trocar x por −x para ter e^{-x} e depois multiplicar por x.

Passo 2

A série de Maclaurin é a expansão de Taylor em torno de x=0. Da tabela, temos
e^x = sumn=0^infty x^nn!

Passo 3

Para obter e^{-x}, basta substituir x por −x na série de e^x. Assim:
e^-x = sumn=0^infty (-x)^nn! = sumn=0^infty (-1)^nx^nn!

Passo 4

Agora multiplicamos termo a termo por x para chegar em f(x)=x e^{-x}:
x e^-x = x sumn=0^infty (-1)^nx^nn! = sumn=0^infty (-1)^nx^n+1n!

Passo 5

Para deixar a notação mais habitual, reindexamos definindo k=n+1. Quando n=0, k=1. Substituindo n=k−1 na soma, obtemos:
x e^-x = sumk=1^infty (-1)^k-1x^k(k-1)!

Resposta

x e^-x = sumn=0^infty (-1)^nx^n+1n! = sumk=1^infty (-1)^k-1x^k(k-1)!

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