Use a série sumn=1^+infty(-1)^n+1 para mostrar que o Teorema 12.5.1 não se aplica a uma série infinita de termos positivos e negativos; isto é, mostre que a sequência das somas parciais tem um limitante superior, mas a série não é convergente.

Passo 1

O enunciado pede para usar a série
sumn=1^+infty(-1)^n+1
para mostrar que, se permitirmos termos positivos e negativos, o fato de a sequência de somas parciais ser limitada superiormente não garante convergência. O Teorema 12.5. 1 afirma que, no caso de termos não-negativos, a limitação superior das somas parciais implica convergência, e queremos ver que essa conclusão falha sem a hipótese de não-negatividade.

Passo 2

Definimos a N-ésima soma parcial por
sN = sumn=1^N(-1)^n+1
Se N=2k, então
s2k = 1 - 1 + 1 - 1 + cdots + 1 - 1 = 0
Se N=2k-1, então sobra um termo +1 a mais, logo
s2k-1 = 1 - 1 + 1 - cdots - 1 + 1 = 1
Portanto a sequência sN oscila entre 0 e 1, mostrando que é limitada superiormente por 1.

Passo 3

Para que a série convergisse, seria necessário limNtoinftysN existir. Mas como sN oscila indefinidamente entre 0 e 1, esse limite não existe. Concluímos que a série diverge apesar de suas somas parciais serem limitadas superiormente. Isso demonstra que, sem a hipótese de termos não-negativos, o Teorema 12.5. 1 não se aplica.

Resposta

A sequência de somas parciais sN está limitada superiormente por 1, mas não converge (oscila entre 0 e 1), logo a série diverge e o Teorema 12.5. 1 falha se permitirmos termos de sinais opostos.

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