Use a série
para mostrar que o Teorema 12.5.1 não se aplica a uma série infinita de termos positivos e negativos; isto é, mostre que a sequência das somas parciais tem um limitante superior, mas a série não é convergente.
Passo 1
O enunciado pede para usar a série
para mostrar que, se permitirmos termos positivos e negativos, o fato de a sequência de somas parciais ser limitada superiormente não garante convergência. O Teorema
.
afirma que, no caso de termos não-negativos, a limitação superior das somas parciais implica convergência, e queremos ver que essa conclusão falha sem a hipótese de não-negatividade.
Passo 2
Definimos a
-ésima soma parcial por
Se
, então
Se
, então sobra um termo
a mais, logo
Portanto a sequência
oscila entre
e
, mostrando que é limitada superiormente por
.
Passo 3
Para que a série convergisse, seria necessário
existir. Mas como
oscila indefinidamente entre
e
, esse limite não existe. Concluímos que a série diverge apesar de suas somas parciais serem limitadas superiormente. Isso demonstra que, sem a hipótese de termos não-negativos, o Teorema
.
não se aplica.
Resposta
A sequência de somas parciais
está limitada superiormente por
, mas não converge (oscila entre
e
), logo a série diverge e o Teorema
.
falha se permitirmos termos de sinais opostos.