Nos Exercícios de 1 a 26, determine se a série dada é convergente ou divergente.
sumn=1^+infty (n+1)^2(n+2)!

Passo 1

O enunciado pede para decidir se a série
sumn=1^+infty (n+1)^2(n+2)!
é convergente ou divergente.
O conteúdo envolvido é teste de convergência de séries de termos positivos. Podemos usar o teste da razão de D’Alembert, que é eficiente quando aparecem fatoriais.

Passo 2

Seja
an = (n+1)^2(n+2)!
O teste da razão diz que, se
L = limntoinftyan+1an<1,
então a série converge absolutamente. Vamos calcular
an+1an = (n+2)^2(n+3)!(n+1)^2(n+2)! = (n+2)^2(n+1)^2;(n+2)!(n+3)!

Passo 3

Note que
(n+2)!(n+3)! = 1,n+3,,
então
an+1an = (n+2)^2(n+1)^2;1,n+3, = l(n+2n+1r)^21,n+3,
Ao deixar ntoinfty, temos
limntoinftyl(n+2n+1r)^2 = 1, limntoinfty1n+3 = 0,
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L = limntoinftyan+1an = 1cdot 0 = 0

Passo 4

Como L=0<1, o teste da razão garante que a série
sumn=1^+infty(n+1)^2(n+2)!
converge absolutamente e, portanto, converge.

Resposta

A série é convergente.

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