Nos Exercícios de 1 a 26, determine se a série dada é convergente ou divergente.
sumn=1^+infty 1(n+2)(n+4)

Passo 1

Ok, vamos lá! Você tem uma série infinita para analisar e precisa descobrir se ela converge ou diverge. A série que vamos estudar é:
sumn=1^+infty 1(n+2)(n+4)
Vamos usar conhecimentos de séries infinitas e técnicas de decomposição para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos dar uma olhada no termo geral da série: 1(n+2)(n+4). Às vezes, é útil quebrar essa fração em partes menores usando a fração parcial. Isso nos ajuda a simplificar a soma e identificar se a série converge ou não.

Passo 3

Vamos decompor 1(n+2)(n+4) em frações parciais. Procuramos números A e B tais que:
1(n+2)(n+4) = An+2 + Bn+4
Multiplicando ambos os lados por (n+2)(n+4) para eliminar os denominadores:
1 = A(n+4) + B(n+2)
Agora, vamos resolver para A e B. Podemos escolher valores de n que simplificam a equação.

Passo 4

Vamos escolher n = -4:
1 = A(-4+4) + B(-4+2)
1 = A(0) + B(-2)
1 = -2B
B = -12
Agora, escolhemos n = -2:
1 = A(-2+4) + B(-2+2)
1 = A(2) + B(0)
1 = 2A
A = 12

Passo 5

Agora que temos A = 12 e B = -12, podemos reescrever o termo geral:
1(n+2)(n+4) = 1/2n+2 - 1/2n+4
Ou seja:
1(n+2)(n+4) = 12(1n+2 - 1n+4)

Passo 6

Agora, substituímos essa expressão na série original:
sumn=1^+infty 1(n+2)(n+4) = 12 sumn=1^+infty (1n+2 - 1n+4)
Essa série agora é uma série telescópica, onde muitos termos se cancelam quando somamos os termos sucessivos.

Passo 7

Vamos ver os primeiros termos da série para entender o cancelamento:
12 [ (13 - 15) + (14 - 16) + (15 - 17) + cdots ]
Observe que -15 cancela com +15, -16 com +16, e assim por diante. Apenas os primeiros termos permanecem sem cancelamento.

Passo 8

Após o cancelamento, a soma parcial até o termo N fica:
12 ( 13 + 14 - 1N+3 - 1N+4 )
Agora, vamos analisar o que acontece quando N tende ao infinito.

Passo 9

Quando N to +infty, os termos -1N+3 e -1N+4 tendem a zero. Portanto, a soma da série é:
12 ( 13 + 14 ) = 12 ( 712 ) = 724

Resposta

A série sumn=1^+infty 1(n+2)(n+4) converge e a soma é 724.

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