Nos Exercícios de 1 a 26, determine se a série dada é convergente ou divergente.
Passo 1
Ok, vamos lá! Você tem uma série infinita para analisar e precisa descobrir se ela converge ou diverge. A série que vamos estudar é:
Vamos usar conhecimentos de séries infinitas e técnicas de decomposição para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos dar uma olhada no termo geral da série:
. Às vezes, é útil quebrar essa fração em partes menores usando a fração parcial. Isso nos ajuda a simplificar a soma e identificar se a série converge ou não.
Passo 3
Vamos decompor
em frações parciais. Procuramos números
e
tais que:
Multiplicando ambos os lados por
para eliminar os denominadores:
Agora, vamos resolver para
e
. Podemos escolher valores de
que simplificam a equação.
Passo 4
Vamos escolher
:
Agora, escolhemos
:
Passo 5
Agora que temos
e
, podemos reescrever o termo geral:
Ou seja:
Passo 6
Agora, substituímos essa expressão na série original:
Essa série agora é uma série telescópica, onde muitos termos se cancelam quando somamos os termos sucessivos.
Passo 7
Vamos ver os primeiros termos da série para entender o cancelamento:
Observe que
cancela com
,
com
, e assim por diante. Apenas os primeiros termos permanecem sem cancelamento.
Passo 8
Após o cancelamento, a soma parcial até o termo
fica:
Agora, vamos analisar o que acontece quando
tende ao infinito.
Passo 9
Quando
, os termos
e
tendem a zero. Portanto, a soma da série é:
Resposta
A série
converge e a soma é
.