Use a série de potência para resolver a equação y′′+ y=0

Passo 1

Beleza, vamos resolver a equação diferencial $ y’’ + y = 0 $ usando série de potência. Basicamente, vamos expressar a função $ y $ como uma série infinita e encontrar os coeficientes dessa série que satisfazem a equação. Para isso, precisamos lembrar como funcionam as séries de potência, como derivar termo a termo e igualar os coeficientes para encontrar uma relação de recorrência.

Passo 2

Primeiro, vamos supor que a solução $ y $ pode ser escrita como uma série de potência em torno de $ x = 0 $. Ou seja:
y
Aqui, $ a_n $ são os coeficientes que precisamos determinar.

Passo 3

Agora, vamos calcular a segunda derivada de $ y $. Derivando termo a termo, temos:
y
Para facilitar a soma, vamos mudar o índice da soma. Substituindo $ m = n - 2 $, temos:
y''(x) = sumn=0^infty an d^2dx^2x^n = sumn=0^infty an n (n - 1) x^n - 2

Passo 4

Substituímos $ y $ e $ y’’ $ na equação original $ y’’ + y = 0 $:
y
Agora, podemos combinar as somas:
y''

Passo 5

Para que essa igualdade seja verdadeira para todo $ x $, os coeficientes de cada potência de $ x $ devem ser iguais a zero. Assim, temos a seguinte relação de recorrência:
x
Essa relação nos permite expressar os coeficientes de ordem superior $ a_{m + 2} $ em termos dos anteriores $ a_m $.

Passo 6

Agora, vamos encontrar os coeficientes. Começamos com os primeiros termos:
Para $ m = 0 $:
m = 0
Para $ m = 1 $:
a2 = -a02 cdot 1 = -a02
Continuando esse processo, percebemos que os coeficientes de $ a_{2k} $ e $ a_{2k+1} $ seguem padrões semelhantes aos das séries de seno e cosseno. De fato, a solução geral pode ser escrita como:
m = 1
Reconhecendo as séries de Taylor para cosseno e seno, temos:
a3 = -a13 cdot 2 = -a16

Resposta

A solução geral da equação $ y’’ + y = 0 $ usando série de potência é:
y'' + y = 0
onde $ a_0 $ e $ a_1 $ são constantes determinadas pelas condições iniciais.

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