Use a série de potência para resolver a equação y′′+ y=0
Passo 1
Beleza, vamos resolver a equação diferencial $ y’’ + y = 0 $ usando série de potência. Basicamente, vamos expressar a função $ y $ como uma série infinita e encontrar os coeficientes dessa série que satisfazem a equação. Para isso, precisamos lembrar como funcionam as séries de potência, como derivar termo a termo e igualar os coeficientes para encontrar uma relação de recorrência.
Passo 2
Primeiro, vamos supor que a solução $ y $ pode ser escrita como uma série de potência em torno de $ x = 0 $. Ou seja:
Aqui, $ a_n $ são os coeficientes que precisamos determinar.
Passo 3
Agora, vamos calcular a segunda derivada de $ y $. Derivando termo a termo, temos:
Para facilitar a soma, vamos mudar o índice da soma. Substituindo $ m = n - 2 $, temos:
Passo 4
Substituímos $ y $ e $ y’’ $ na equação original $ y’’ + y = 0 $:
Agora, podemos combinar as somas:
Passo 5
Para que essa igualdade seja verdadeira para todo $ x $, os coeficientes de cada potência de $ x $ devem ser iguais a zero. Assim, temos a seguinte relação de recorrência:
Essa relação nos permite expressar os coeficientes de ordem superior $ a_{m + 2} $ em termos dos anteriores $ a_m $.
Passo 6
Agora, vamos encontrar os coeficientes. Começamos com os primeiros termos:
Para $ m = 0 $:
Para $ m = 1 $:
Continuando esse processo, percebemos que os coeficientes de $ a_{2k} $ e $ a_{2k+1} $ seguem padrões semelhantes aos das séries de seno e cosseno. De fato, a solução geral pode ser escrita como:
Reconhecendo as séries de Taylor para cosseno e seno, temos:
Resposta
A solução geral da equação $ y’’ + y = 0 $ usando série de potência é:
onde $ a_0 $ e $ a_1 $ são constantes determinadas pelas condições iniciais.