Encontre três pontos equidistantes de A (-2,4) e B (3,1).

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para encontrar três pontos que estejam exatamente na mesma distância dos pontos A (-2, 4) e B (3, 1). Isso envolve o conteúdo de geometria analítica, especificamente o conceito de ponto equidistante. Para resolver, vamos precisar usar a fórmula da distância entre dois pontos e entender como encontrar a mediatriz do segmento AB.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como calcular a distância entre dois pontos. Se temos dois pontos, $ A(x_1, y_1) $ e $ B(x_2, y_2) $, a distância $ d $ entre eles é dada por:
A(x1, y1)
Mas aqui, queremos encontrar pontos que têm a mesma distância para A e B, ou seja, pontos $ P(x, y) $ onde:
B(x2, y2)

Passo 3

Para facilitar, vamos eliminar as raízes quadradas elevando ambos os lados ao quadrado:
(x + 2)^2 + (y - 4)^2 = (x - 3)^2 + (y - 1)^2

Passo 4

Agora, vamos expandir os termos:
(x^2 + 4x + 4) + (y^2 - 8y + 16) = (x^2 - 6x + 9) + (y^2 - 2y + 1)

Passo 5

Simplificando ambos os lados:
x^2 + 4x + 4 + y^2 - 8y + 16 = x^2 - 6x + 9 + y^2 - 2y + 1

Passo 6

Cancelando $ x^2 $ e $ y^2 $ que aparecem em ambos os lados:
x^2
Simplificando:
y^2

Passo 7

Vamos juntar os termos semelhantes:
4x + 6x - 8y + 2y = 10 - 20
10x - 6y = -10

Passo 8

Dividindo todos os termos por 2 para simplificar:
5x - 3y = -5
Essa é a equação da mediatriz do segmento AB, ou seja, todos os pontos $ P(x, y) $ que satisfazem essa equação estão equidistantes de A e B.

Passo 9

Agora, precisamos encontrar três pontos que satisfaçam essa equação. Vamos escolher valores para $ x $ e resolver para $ y $:
  1. Primeiro ponto:
    • Suponha que $ x = 0 $:
      x
      y
      x = 0
      Então, o ponto é $ (0, \frac{5}{3}) $.
  2. Segundo ponto:
    • Suponha que $ x = 1 $:
      5(0) - 3y = -5
      -3y = -5
      y = 53
      (0, 53)
      Então, o ponto é $ (1, \frac{10}{3}) $.
  3. Terceiro ponto:
    • Suponha que $ x = 2 $:
      x = 1
      5(1) - 3y = -5
      5 - 3y = -5
      -3y = -10
      Então, o ponto é $ (2, 5) $.

Resposta

Três pontos equidistantes de A (-2, 4) e B (3, 1) são:
  • $ (0, \frac{5}{3}) $
  • $ (1, \frac{10}{3}) $
  • $ (2, 5) $

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