Encontre três pontos equidistantes de A (-2,4) e B (3,1).
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para encontrar três pontos que estejam exatamente na mesma distância dos pontos A (-2, 4) e B (3, 1). Isso envolve o conteúdo de geometria analítica, especificamente o conceito de ponto equidistante. Para resolver, vamos precisar usar a fórmula da distância entre dois pontos e entender como encontrar a mediatriz do segmento AB.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar como calcular a distância entre dois pontos. Se temos dois pontos, $ A(x_1, y_1) $ e $ B(x_2, y_2) $, a distância $ d $ entre eles é dada por:
Mas aqui, queremos encontrar pontos que têm a mesma distância para A e B, ou seja, pontos $ P(x, y) $ onde:
Passo 3
Para facilitar, vamos eliminar as raízes quadradas elevando ambos os lados ao quadrado:
Passo 4
Agora, vamos expandir os termos:
Passo 5
Simplificando ambos os lados:
Passo 6
Cancelando $ x^2 $ e $ y^2 $ que aparecem em ambos os lados:
Simplificando:
Passo 7
Vamos juntar os termos semelhantes:
Passo 8
Dividindo todos os termos por 2 para simplificar:
Essa é a equação da mediatriz do segmento AB, ou seja, todos os pontos $ P(x, y) $ que satisfazem essa equação estão equidistantes de A e B.
Passo 9
Agora, precisamos encontrar três pontos que satisfaçam essa equação. Vamos escolher valores para $ x $ e resolver para $ y $:
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Primeiro ponto:
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Suponha que $ x = 0 $:Então, o ponto é $ (0, \frac{5}{3}) $.
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Segundo ponto:
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Suponha que $ x = 1 $:Então, o ponto é $ (1, \frac{10}{3}) $.
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Terceiro ponto:
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Suponha que $ x = 2 $:Então, o ponto é $ (2, 5) $.
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Resposta
Três pontos equidistantes de A (-2, 4) e B (3, 1) são:
- $ (0, \frac{5}{3}) $
- $ (1, \frac{10}{3}) $
- $ (2, 5) $