Use uma série de potências para aproximar a integral definida com precisão de seis casas decimais.
16. \int_{0}^{1 / 2} \operatorname{tg}^{-1}\left(x^{2}\right) d x

Passo 1

O enunciado pede para aproximar, com precisão de seis casas decimais, a integral
I = \int_{0}^{1/2} \operatorname{tg}^{-1}\bigl(x^{2}\bigr)\,dx.
O conteúdo principal aqui é usar a série de potências de \arctan(u) e integrar termo a termo. Vamos precisar de
\arctan(u) = \sum_{n=0}^{\infty} (-1)^{n}\,\frac{u^{2n+1}}{2n+1},
válida para |u|\le1.

Passo 2

Escolhendo u = x^{2}, temos
\operatorname{tg}^{-1}\bigl(x^{2}\bigr)=\arctan(x^{2}) =\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^{n}\,\frac{\bigl(x^{2}\bigr)^{2n+1}}{2n+1} =\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^{n}\,\frac{x^{4n+2}}{2n+1}.

Passo 3

Integramos termo a termo em [0,\,\tfrac12]:
I =\int_{0}^{1/2}\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^{n}\frac{x^{4n+2}}{2n+1}\,dx =\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^{n}\frac{1}{2n+1}\int_{0}^{1/2}x^{4n+2}\,dx.
Como
\int_{0}^{1/2}x^{4n+2}\,dx =\left[\frac{x^{4n+3}}{4n+3}\right]_{0}^{1/2} =\frac{(1/2)^{4n+3}}{4n+3},
segue
I =\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^{n}\,\frac{(1/2)^{4n+3}}{(2n+1)(4n+3)}.

Passo 4

A série é alternante e monoticamente decrescente em módulo, logo o erro ao truncar após n=N é menor que o módulo do termo n=N+1. Queremos erro \le5\times10^{-7}. Calculamos alguns termos absolutos:
a_{n}=\frac{(1/2)^{4n+3}}{(2n+1)(4n+3)}.
Para n=3:
a_{3} =\frac{(1/2)^{15}}{7\cdot15} \approx2{,}9\times10^{-7}<5\times10^{-7}.
Então basta somar até n=2 para garantir a precisão desejada.

Passo 5

Calculando os três primeiros termos:
T_{0}=\frac{(1/2)^{3}}{1\cdot3}=\frac{1}{24}\approx0{,}0416666666667,
T_{1}=-\frac{(1/2)^{7}}{3\cdot7}=-\frac{1}{2688}\approx-0{,}0003720238095,
T_{2}=\frac{(1/2)^{11}}{5\cdot11}=\frac{1}{112640}\approx0{,}0000088768.
Somando:
S_{2}=T_{0}+T_{1}+T_{2} \approx0{,}0416666666667 -0{,}0003720238095 +0{,}0000088768 \approx0{,}0413035197.
Como o erro restante é menor que 2{,}9\times10^{-7}, temos as seis casas certas. Arredondando ao sexto decimal, obtemos
I\approx0{,}041304.

Resposta

0,041304

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