Obtenha uma representação em série de potências em torno de (dado abaixo) para as funções, abaixo, e determine o intervalo de convergência de cada uma.
Passo 1
O problema pede a série de potências (Maclaurin) de , em torno de ,, além de determinar o intervalo de convergência. O conteúdo envolvido é a expansão de Taylor de uma função infinita vezes diferenciável e o uso do teste da razão para séries.
Passo 2
Para montar a série de Taylor em torno de , usamos a fórmula geral:
Precisamos então calcular as derivadas de , e avaliá-las em zero.
Passo 3
Calculamos e observamos o padrão:
• , ⇒ ,
• , ⇒ ,
• , ⇒ ,
• , ⇒ ,
… e assim por diante, alternando entre \sinh e \cosh, de modo que , para par e , para ímpar.
Passo 4
Substituindo na soma, só restam termos ímpares :
Passo 5
Para o intervalo de convergência aplicamos o teste da razão a . Observamos que
Como o limite é zero, a série converge para todo xinR.
Resposta
sinh(x)=sumk=0^inftyx^2k+1(2k+1)!,intervalo de convergência: (-infty,infty)ê.