Obtenha uma representação em série de potências em torno de a (dado abaixo) para as funções, abaixo, e determine o intervalo de convergência de cada uma.
f(x)=senh(x)=e^x-e^-x2, a=0 ;

Passo 1

O problema pede a série de potências (Maclaurin) de , f(x)=sinh(x)=e^x-e^-x2 em torno de , a=0, além de determinar o intervalo de convergência. O conteúdo envolvido é a expansão de Taylor de uma função infinita vezes diferenciável e o uso do teste da razão para séries.

Passo 2

Para montar a série de Taylor em torno de , a=0 usamos a fórmula geral:
f(x)=sumn=0^inftyf^(n)(0)n!,x^n
Precisamos então calcular as derivadas de , sinh(x) e avaliá-las em zero.

Passo 3

Calculamos e observamos o padrão:
• , f(x)=sinh(x) ⇒ , f(0)=0
• , f'(x)=cosh(x) ⇒ , f'(0)=1
• , f''(x)=sinh(x) ⇒ , f''(0)=0
• , f'''(x)=cosh(x) ⇒ , f'''(0)=1
… e assim por diante, alternando entre \sinh e \cosh, de modo que , f^(n)(0)=0 para n par e , f^(n)(0)=1 para n ímpar.

Passo 4

Substituindo na soma, só restam termos ímpares n=2k+1:
sinh(x)=sumk=0^infty1(2k+1)!,x^2k+1

Passo 5

Para o intervalo de convergência aplicamos o teste da razão a a2k+1=1/(2k+1)!. Observamos que
limktoinfty|a2(k+1)+1a2k+1|=limktoinfty1/(2k+3)!1/(2k+1)!=limktoinfty1(2k+2)(2k+3)=0<1
Como o limite é zero, a série converge para todo xinR.

Resposta

sinh(x)=sumk=0^inftyx^2k+1(2k+1)!,intervalo de convergência: (-infty,infty)ê.

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