1. Use a série de potências da função f(x)=\operatorname{arctg} x para representar \pi como a soma de uma série infinita.
  2. Encontre uma série de potências para representar a função f(x)=\frac{e^{x}-1}{x} e, por derivação termo a termo, prove que \sum_{n=1}^{\infty} \frac{n}{(n+1)!}=1.

Passo 1

O enunciado pede duas coisas:
(a) usar a série de potências de \operatorname{arctg} x para escrever \pi como soma infinita;
(b) encontrar a série de potências de f(x)=\frac{e^x-1}{x} e, derivando termo a termo, mostrar que
\sum_{n=1}^\infty \frac{n}{(n+1)!}=1.
O conteúdo usado será: expansão em série de potências por integração de uma série geométrica e derivação de séries.

Passo 2

Para \operatorname{arctg} x começamos da identidade
\frac{1}{1+t^2}=\sum_{n=0}^\infty(-1)^n t^{2n},\quad |t|<1.
Integramos de 0 até x:
\operatorname{arctg} x=\int_0^x\frac{dt}{1+t^2} =\sum_{n=0}^\infty(-1)^n\int_0^x t^{2n}dt =\sum_{n=0}^\infty(-1)^n\frac{x^{2n+1}}{2n+1}.

Passo 3

Para representar \pi tomamos x=1. Como \arctg1=\pi/4,
\frac{\pi}{4} =\sum_{n=0}^\infty(-1)^n\frac{1^{2n+1}}{2n+1} =\sum_{n=0}^\infty\frac{(-1)^n}{2n+1},
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\pi=4\sum_{n=0}^\infty\frac{(-1)^n}{2n+1}.

Passo 4

Para f(x)=\frac{e^x-1}{x} usamos a série de e^x:
e^x=\sum_{n=0}^\infty\frac{x^n}{n!},
então
e^x-1=\sum_{n=1}^\infty\frac{x^n}{n!}, \quad \frac{e^x-1}{x} =\sum_{n=1}^\infty\frac{x^{n-1}}{n!} =\sum_{m=0}^\infty\frac{x^m}{(m+1)!},
onde reindexamos m=n-1.

Passo 5

Derivamos termo a termo a série de f(x):
f(x)=\sum_{m=0}^\infty\frac{x^m}{(m+1)!} \quad\Longrightarrow\quad f'(x)=\sum_{m=1}^\infty\frac{m\,x^{m-1}}{(m+1)!}.
Avaliar em x=1
f'(1)=\sum_{m=1}^\infty\frac{m}{(m+1)!}.

Passo 6

Por outro lado, derivamos diretamente f(x)=\frac{e^x-1}{x} por quociente:
f'(x) =\frac{x\,e^x-(e^x-1)}{x^2} =\frac{e^x(x-1)+1}{x^2}.
Em x=1 isso vale
f'(1)=\frac{e\cdot0+1}{1} = 1.
Portanto
\sum_{n=1}^\infty\frac{n}{(n+1)!}=1.

Resposta

  1. \displaystyle \pi=4\sum_{n=0}^\infty\frac{(-1)^n}{2n+1}.
  2. \displaystyle \frac{e^x-1}{x}=\sum_{n=0}^\infty\frac{x^n}{(n+1)!} e, por derivação termo a termo em x=1,
    \displaystyle \sum_{n=1}^\infty\frac{n}{(n+1)!}=1.

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