- Use a série de potências da função
para representar
como a soma de uma série infinita.
- Encontre uma série de potências para representar a função
e, por derivação termo a termo, prove que
.
Passo 1
O enunciado pede duas coisas:
(a) usar a série de potências de para escrever
como soma infinita;
(b) encontrar a série de potências de e, derivando termo a termo, mostrar que
(a) usar a série de potências de
(b) encontrar a série de potências de
O conteúdo usado será: expansão em série de potências por integração de uma série geométrica e derivação de séries.
Passo 2
Para
começamos da identidade
Integramos de
até
:
Passo 3
Para representar
tomamos
. Como
,
logo
Passo 4
Para
usamos a série de
:
então
onde reindexamos
.
Passo 5
Derivamos termo a termo a série de
:
Avaliar em
dá
Passo 6
Por outro lado, derivamos diretamente
por quociente:
Em
isso vale
Portanto
Resposta
-
-
e, por derivação termo a termo em ,