Use séries conhecidas para determinar as séries de Taylor ou Maclaurin das funções a seguir bem como os raios de convergência.
f(x)=32+x-x^2

Passo 1

O enunciado pede a série de Maclaurin de f(x)=32+x-x^2 e seu raio de convergência. Vamos usar fatoração do denominador, frações parciais e expansão em série geométrica.

Passo 2

Fatoramos o denominador: 2+x-x^2=-(x^2-x-2)=-(x-2)(x+1). Logo
f(x)=32+x-x^2=-3(x-2)(x+1)

Passo 3

Aplicamos frações parciais:
-3(x-2)(x+1)=Ax-2+Bx+1

Passo 4

Resolvendo A(x+1)+B(x-2)=-3 para todo x:
os coeficientes de x dão A+B=0 e de termo constante dão A-2B=-3. Daí A=-1, B=1, isto é
f(x)=-1x-2+1x+1

Passo 5

Agora expandimos cada termo em série geométrica centrada em 0:
Para (-\tfrac{1}{x-2}=\tfrac{1}{2}\cdot\tfrac{1}{1-x/2}=\sum_{n=0}\infty\frac{xn}{2^{n+1}},\ |x|<2.
Para (\tfrac{1}{x+1}=\tfrac{1}{1-(-x)}=\sum_{n=0}\infty(-1)n x^n,\ |x|<1.

Passo 6

Como a convergência conjunta exige o menor intervalo comum, temos |x|<1. Somando as duas séries obtemos
f(x)=sumn=0^inftyl(12^n+1+(-1)^nr)x^n, |x|<1

Resposta

f(x)=sumn=0^inftyl(12^n+1+(-1)^nr)x^n
Raio de convergência: R=1.

Exercícios relacionados