Use séries conhecidas para determinar as séries de Taylor ou Maclaurin das funções a seguir bem como os raios de convergência.
Passo 1
O enunciado pede a série de Maclaurin de
e seu raio de convergência. Vamos usar fatoração do denominador, frações parciais e expansão em série geométrica.
Passo 2
Fatoramos o denominador:
. Logo
Passo 3
Aplicamos frações parciais:
Passo 4
Resolvendo
para todo
:
os coeficientes de dão
e de termo constante dão
. Daí
, isto é
os coeficientes de
Passo 5
Agora expandimos cada termo em série geométrica centrada em
:
Para (-\tfrac{1}{x-2}=\tfrac{1}{2}\cdot\tfrac{1}{1-x/2}=\sum_{n=0}\infty\frac{xn}{2^{n+1}},\ |x|<2.
Para (\tfrac{1}{x+1}=\tfrac{1}{1-(-x)}=\sum_{n=0}\infty(-1)n x^n,\ |x|<1.
Para (-\tfrac{1}{x-2}=\tfrac{1}{2}\cdot\tfrac{1}{1-x/2}=\sum_{n=0}\infty\frac{xn}{2^{n+1}},\ |x|<2.
Para (\tfrac{1}{x+1}=\tfrac{1}{1-(-x)}=\sum_{n=0}\infty(-1)n x^n,\ |x|<1.
Passo 6
Como a convergência conjunta exige o menor intervalo comum, temos
. Somando as duas séries obtemos
Resposta
Raio de convergência:
.