Use séries conhecidas para determinar as séries de Taylor ou Maclaurin das funções a seguir bem como os raios de convergência.
f(x)=x^3 arctan x

Passo 1

O enunciado pede a série de Maclaurin de f(x)=x^3arctan x e o raio de convergência. Vamos usar a série conhecida de arctan x e depois multiplicar por x^3.

Passo 2

Sabemos que a expansão de Maclaurin de arctan x é dada por
arctan x=sumn=0^infty(-1)^nx^2n+12n+1,
com raio de convergência R=1.

Passo 3

Para obter f(x)=x^3arctan x, multiplicamos a série acima por x^3:
f(x)=x^3arctan x=x^3sumn=0^infty(-1)^nx^2n+12n+1 =sumn=0^infty(-1)^nx^2n+42n+1

Passo 4

Podemos reescrever o índice se quisermos começar a contar a partir do expoente. Por exemplo, definindo k=2n+4, mas a forma mais direta é manter n:
f(x)=sumn=0^infty(-1)^nx^2n+42n+1

Passo 5

O raio de convergência continua sendo R=1, já que multiplicar por x^3 não altera o raio da série original de arctan x.

Resposta

A série de Maclaurin é f(x)=sumn=0^infty(-1)^ntfracx^2n+42n+1 e o raio de convergência é R=1.

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