Use séries conhecidas para determinar as séries de Taylor ou Maclaurin das funções a seguir bem como os raios de convergência.
Passo 1
O enunciado pede a série de Maclaurin de
e o raio de convergência. Vamos usar a série conhecida de
e depois multiplicar por
.
Passo 2
Sabemos que a expansão de Maclaurin de
é dada por
com raio de convergência
.
Passo 3
Para obter
, multiplicamos a série acima por
:
Passo 4
Podemos reescrever o índice se quisermos começar a contar a partir do expoente. Por exemplo, definindo
, mas a forma mais direta é manter
:
Passo 5
O raio de convergência continua sendo
, já que multiplicar por
não altera o raio da série original de
.
Resposta
A série de Maclaurin é
e o raio de convergência é
.