Use séries de potências para determinar as soluções
dos problemas abaixo(retome o Exercício 20 da Lista 1):
onde
.
Passo 1
Beleza! A gente vai resolver uma equação diferencial usando séries de potências. O problema é encontrar a função
que satisfaz a equação
com as condições iniciais
e
. Para isso, vamos precisar usar séries de potências, derivadas e conhecimentos básicos de equações diferenciais.
Passo 2
Primeiro, vamos assumir que a solução
pode ser representada como uma série de potências em torno de
. Ou seja,
Passo 3
Agora, precisamos encontrar as derivadas dessa série. A primeira derivada é:
E a segunda derivada é:
Passo 4
Substituímos
e
na equação diferencial:
Sabemos que
pode ser expandido em série de potências:
Passo 5
Para somar as séries de forma consistente, ajustamos os índices para que todas as séries comecem com
. Fazemos uma mudança de índice na primeira soma:
Passo 6
Agora, combinamos as somas:
Passo 7
Igualamos os coeficientes de
de ambos os lados da equação:
Dessa forma, conseguimos uma relação de recorrência para os coeficientes
.
Passo 8
Resolvemos a relação de recorrência para encontrar
:
Para iniciar, usamos as condições iniciais. Sabemos que
e
.
Passo 9
Calculamos alguns coeficientes para identificar um padrão:
Para
:
Para
:
E assim por diante.
Passo 10
Observando os coeficientes, percebemos que a solução
pode ser expressa como a soma das séries de
e funções periódicas, ajustando os coeficientes para satisfazer as condições iniciais.
Resposta
A solução da equação diferencial
com
e
é dada pela série de potências: