Use séries de potências para determinar as soluções y(x) dos problemas abaixo(retome o Exercício 20 da Lista 1):
y^prime prime+y=2 e^x onde y(0)=y^prime(0)=1.

Passo 1

Beleza! A gente vai resolver uma equação diferencial usando séries de potências. O problema é encontrar a função que satisfaz a equação com as condições iniciais e . Para isso, vamos precisar usar séries de potências, derivadas e conhecimentos básicos de equações diferenciais.

Passo 2

Primeiro, vamos assumir que a solução y(x) = sumn=0^infty an x^n pode ser representada como uma série de potências em torno de . Ou seja,

Passo 3

Agora, precisamos encontrar as derivadas dessa série. A primeira derivada é:
y'(x) = sumn=1^infty n an x^n-1
E a segunda derivada é:
y''(x) = sumn=2^infty n(n-1) an x^n-2

Passo 4

Substituímos sumn=2^infty n(n-1) an x^n-2 + sumn=0^infty an x^n = 2 e^x e 2 e^x = 2 sumn=0^infty x^nn! na equação diferencial:
Sabemos que pode ser expandido em série de potências:

Passo 5

Para somar as séries de forma consistente, ajustamos os índices para que todas as séries comecem com sumn=0^infty (n+2)(n+1) an+2 x^n + sumn=0^infty an x^n = 2 sumn=0^infty x^nn! . Fazemos uma mudança de índice na primeira soma:

Passo 6

Agora, combinamos as somas:
sumn=0^infty [(n+2)(n+1) an+2 + an ] x^n = 2 sumn=0^infty x^nn!

Passo 7

Igualamos os coeficientes de (n+2)(n+1) an+2 + an = 2n! de ambos os lados da equação:
Dessa forma, conseguimos uma relação de recorrência para os coeficientes .

Passo 8

Resolvemos a relação de recorrência para encontrar an+2 = 2(n+2)(n+1) n! - an(n+2)(n+1) :
Para iniciar, usamos as condições iniciais. Sabemos que e .

Passo 9

Calculamos alguns coeficientes para identificar um padrão:
Para a2 = 22 cdot 1 cdot 0! - a02 cdot 1 = 22 - 12 = 1 - 0.5 = 0.5 :
a3 = 23 cdot 2 cdot 1! - a13 cdot 2 = 26 - 16 = 13 - 16 = 16
Para :
E assim por diante.

Passo 10

Observando os coeficientes, percebemos que a solução pode ser expressa como a soma das séries de e funções periódicas, ajustando os coeficientes para satisfazer as condições iniciais.

Resposta

A solução da equação diferencial y(x) = sumn=0^infty an x^n = 1 + x + 12x^2 + 16x^3 + cdots com e é dada pela série de potências:

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