Use séries de potências para determinar as soluções y(x) dos problemas abaixo(retome o Exercício 20 da Lista 1):
y^prime prime+x y^prime+y=0 onde y(0)=0 e y^prime(0)=1

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma equação diferencial de segunda ordem:
y'' + x y' + y = 0
com as condições iniciais e . O conteúdo que vamos usar é o de séries de potências, que nos permite expressar a solução como uma série infinita. Para resolver, precisamos desenvolver , e em séries de potências e substituir na equação diferencial.

Passo 2

Vamos assumir que a solução y(x) = sumn=0^infty an x^n pode ser escrita como uma série de potências centrada em 0:
Isso significa que é uma soma infinita de termos envolvendo potências de .

Passo 3

Calculamos as derivadas de y'(x) = sumn=1^infty n an x^n-1 :
Primeira derivada:
y''(x) = sumn=2^infty n(n-1) an x^n-2
Segunda derivada:
Essas expressões nos permitem substituir na equação diferencial.

Passo 4

Substituímos sumn=2^infty n(n-1) an x^n-2 + x sumn=1^infty n an x^n-1 + sumn=0^infty an x^n = 0 , e na equação diferencial:
Agora, simplificamos cada termo para ter potências de consistentes.

Passo 5

Ajustamos os índices das somas para que todas comecem com sumn=0^infty (n+2)(n+1) an+2 x^n :
Primeiro termo:
sumn=0^infty (n+1) an+1 x^n+1 = sumn=0^infty (n) an x^n
Segundo termo:
sumn=0^infty an x^n
Terceiro termo:

Passo 6

Somamos todos os termos ajustados:
sumn=0^infty (n+2)(n+1) an+2 x^n + sumn=0^infty n an x^n + sumn=0^infty an x^n = 0
Combinando as somas:
sumn=0^infty [ (n+2)(n+1) an+2 + (n + 1) an ] x^n = 0

Passo 7

Para que essa igualdade seja verdadeira para todo (n+2)(n+1) an+2 + (n + 1) an = 0 , os coeficientes de cada potência de an+2 = -ann+2 devem ser iguais a zero:
Podemos simplificar essa expressão para encontrar uma relação de recorrência:

Passo 8

Usamos as condições iniciais para encontrar os coeficientes:
  1. a2 = -a02 = 0
  2. a3 = -a13 = -13
Agora, aplicamos a relação de recorrência para encontrar os demais a4 = -a24 = 0 :
  • Para a5 = -a35 = 115 :
  • Para :
  • Para :
  • Para :
E assim por diante.

Passo 9

Identificamos um padrão nos coeficientes não nulos. Os coeficientes a2k = 0 são nulos para a2k+1 = (-1)^k(2k+1)! par e seguem uma sequência para ímpar:

Passo 10

Finalmente, escrevemos a solução y(x) = sumk=0^infty (-1)^k(2k+1)! x^2k+1 como uma série de potências usando os coeficientes encontrados:

Resposta

A solução da equação diferencial é:
y(x) = sumk=0^infty (-1)^k(2k+1)! x^2k+1

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