Use séries de potências para determinar as soluções
dos problemas abaixo(retome o Exercício 20 da Lista 1):
onde
e
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma equação diferencial de segunda ordem:
com as condições iniciais
e
. O conteúdo que vamos usar é o de séries de potências, que nos permite expressar a solução
como uma série infinita. Para resolver, precisamos desenvolver
,
e
em séries de potências e substituir na equação diferencial.
Passo 2
Vamos assumir que a solução
pode ser escrita como uma série de potências centrada em 0:
Isso significa que
é uma soma infinita de termos envolvendo potências de
.
Passo 3
Calculamos as derivadas de
:
Primeira derivada:
Segunda derivada:
Essas expressões nos permitem substituir na equação diferencial.
Passo 4
Substituímos
,
e
na equação diferencial:
Agora, simplificamos cada termo para ter potências de
consistentes.
Passo 5
Ajustamos os índices das somas para que todas comecem com
:
Primeiro termo:
Segundo termo:
Terceiro termo:
Passo 6
Somamos todos os termos ajustados:
Combinando as somas:
Passo 7
Para que essa igualdade seja verdadeira para todo
, os coeficientes de cada potência de
devem ser iguais a zero:
Podemos simplificar essa expressão para encontrar uma relação de recorrência:
Passo 8
Usamos as condições iniciais para encontrar os coeficientes:
Agora, aplicamos a relação de recorrência para encontrar os demais
:
-
Para
: -
Para
: -
Para
: -
Para
:
E assim por diante.
Passo 9
Identificamos um padrão nos coeficientes não nulos. Os coeficientes
são nulos para
par e seguem uma sequência para
ímpar:
Passo 10
Finalmente, escrevemos a solução
como uma série de potências usando os coeficientes encontrados:
Resposta
A solução da equação diferencial é: