Use séries de potências para determinar as soluções
dos problemas abaixo(retome o Exercício 20 da Lista 1):
.
Passo 1
Vamos dar uma olhada no problema: precisamos encontrar a solução da equação diferencial
com a condição inicial
. Para isso, vamos usar séries de potências, que nos ajudam a expressar a solução como uma soma infinita de termos com potências de
.
Passo 2
Primeiro, vamos supor que a solução
pode ser escrita como uma série de potências centrada em
:
Aqui,
são os coeficientes que vamos determinar.
Passo 3
Agora, vamos calcular a derivada de
:
Isso é importante porque precisamos substituir
na equação diferencial.
Passo 4
Substituímos
e
na equação diferencial original:
Agora, temos duas séries que precisamos combinar.
Passo 5
Para combinar as séries, ajustamos os índices para que ambas comecem de
:
Isso facilita a comparação dos coeficientes.
Passo 6
Juntamos as duas séries em uma única soma:
Para que essa equação seja válida para todo
, cada coeficiente de
deve ser zero.
Passo 7
Igualamos cada coeficiente a zero, obtendo uma relação de recorrência:
Isso nos permite expressar
em função de
.
Passo 8
Resolvemos a relação de recorrência para encontrar
:
Com isso, podemos encontrar todos os coeficientes
a partir de
.
Passo 9
Usamos a condição inicial
para determinar
:
Agora, sabemos que
.
Passo 10
Usamos a recorrência para encontrar os demais coeficientes:
Continuando assim, podemos encontrar todos os
.
Passo 11
Observamos que a série resultante é a expansão em série de potências da função exponencial
:
Portanto, a solução encontrada através da série de potências coincide com a solução conhecida da equação diferencial.
Resposta
A solução do problema é
.