Use séries de potências para determinar as soluções y(x) dos problemas abaixo(retome o Exercício 20 da Lista 1):
y^prime+2 y=0 y(0)=1.

Passo 1

Vamos dar uma olhada no problema: precisamos encontrar a solução da equação diferencial com a condição inicial . Para isso, vamos usar séries de potências, que nos ajudam a expressar a solução como uma soma infinita de termos com potências de .

Passo 2

Primeiro, vamos supor que a solução y(x) = sumn=0^infty an x^n pode ser escrita como uma série de potências centrada em :
Aqui, são os coeficientes que vamos determinar.

Passo 3

Agora, vamos calcular a derivada de y'(x) = sumn=1^infty n an x^n-1 :
Isso é importante porque precisamos substituir na equação diferencial.

Passo 4

Substituímos sumn=1^infty n an x^n-1 + 2 sumn=0^infty an x^n = 0 e na equação diferencial original:
Agora, temos duas séries que precisamos combinar.

Passo 5

Para combinar as séries, ajustamos os índices para que ambas comecem de sumn=0^infty (n+1) an+1 x^n + 2 sumn=0^infty an x^n = 0 :
Isso facilita a comparação dos coeficientes.

Passo 6

Juntamos as duas séries em uma única soma:
sumn=0^infty [ (n+1) an+1 + 2 an ] x^n = 0
Para que essa equação seja válida para todo , cada coeficiente de deve ser zero.

Passo 7

Igualamos cada coeficiente a zero, obtendo uma relação de recorrência:
(n+1) an+1 + 2 an = 0 para todo n >= 0
Isso nos permite expressar em função de .

Passo 8

Resolvemos a relação de recorrência para encontrar an+1 = -2n+1 an :
Com isso, podemos encontrar todos os coeficientes a partir de .

Passo 9

Usamos a condição inicial y(0) = a0 = 1 para determinar :
Agora, sabemos que .

Passo 10

Usamos a recorrência para encontrar os demais coeficientes:
a1 = -21 a0 = -2 a2 = -22 a1 = 2 a3 = -23 a2 = -43 vdots
Continuando assim, podemos encontrar todos os .

Passo 11

Observamos que a série resultante é a expansão em série de potências da função exponencial y(x) = e^-2x = sumn=0^infty (-2)^nn! x^n :
Portanto, a solução encontrada através da série de potências coincide com a solução conhecida da equação diferencial.

Resposta

A solução do problema é .

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