Use séries de potências para encontrar a solução geral de
. Explicite os quatro primeiros termos da série.
Passo 1
Resumo: O exercício pede para a gente resolver
usando séries de potências (método de Frobenius) em torno de
e escrever os quatro primeiros termos da expansão. Para isso, vamos precisar usar o método de Frobenius para ponto singular regular.
Passo 2
Como
é ponto singular regular, assumimos uma solução do tipo
Então calculamos a derivada:
Passo 3
Substituindo na equação
ficamos com
Como o lado direito é
, vamos comparar coeficientes.
Passo 4
Indicial: o menor expoente é
(quando
). O coeficiente dele precisa ser zero (não há termo
do lado direito), então
Passo 5
Com
, nossa soma vira
Reindexando em
e igualando coeficientes de
:
- Para
: vem . - Para
: sobra se .
Ofica livre; chamamos de .
Passo 6
Então os primeiros termos são
Daí vemos que isso bate com a solução geral pelo método clássico:
Resposta
A solução geral é
. Os quatro primeiros termos da série de potências (Frobenius) são
,
,
e
.