Use séries de potências para encontrar a solução geral de y^prime+y / x=1. Explicite os quatro primeiros termos da série.

Passo 1

Resumo: O exercício pede para a gente resolver
y'+yx=1
usando séries de potências (método de Frobenius) em torno de x=0 e escrever os quatro primeiros termos da expansão. Para isso, vamos precisar usar o método de Frobenius para ponto singular regular.

Passo 2

Como x=0 é ponto singular regular, assumimos uma solução do tipo
y(x)=sumn=0^inftyan,x^n+r
Então calculamos a derivada:
y'(x)=sumn=0^inftyan(n+r),x^n+r-1

Passo 3

Substituindo na equação
y'+yx =sumn=0^infty an(n+r),x^n+r-1 +sumn=0^infty an,x^n+r-1 =1,
ficamos com
sumn=0^infty an(n+r+1),x^n+r-1=1
Como o lado direito é 1=x^0, vamos comparar coeficientes.

Passo 4

Indicial: o menor expoente é x^r-1 (quando n=0). O coeficiente dele precisa ser zero (não há termo x^r-1 do lado direito), então
a0(r+1)=0implies r=-1

Passo 5

Com r=-1, nossa soma vira
sumn=0^infty an,n,x^n-2=1
Reindexando em k=n-2 e igualando coeficientes de x^k:
  • Para k=0: vem a2cdot2=1Rightarrow a2=tfrac12.
  • Para kneq0: sobra ak+2(k+2)=0Rightarrow an=0 se nneq2.
    O a0 fica livre; chamamos de C.

Passo 6

Então os primeiros termos são
y(x)=sumn=0^infty an x^n-1 =a0x^-1+a1x^0+a2x^1+a3x^2+dots =Cx^-1+0cdot x^0+tfrac12x+0cdot x^2+dots
Daí vemos que isso bate com a solução geral pelo método clássico:
y(x)=Cx+x2

Resposta

A solução geral é y(x)=Cx+x2. Os quatro primeiros termos da série de potências (Frobenius) são C x^-1, 0cdot x^0, tfrac12 x e 0cdot x^2.

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