Use séries de potências para encontrar o valor da integral
Passo 1
O enunciado pede o valor da integral
Informações dadas:
- A função a integrar é
no intervalo . - É pedido usar séries de potências para encontrar o valor da integral.
Observação: a integral é bem-definida no intervalo dado porquetem limite finito quando .
Passo 2
Vamos lembrar a série de potências (série de Taylor) da função
centrada em
. Esta é uma fórmula fundamental que você deve conhecer e que vem de desenvolver
em série:
Explicando cada parte:
-
é o índice de soma, variando por todos os inteiros não negativos . -
é o fatorial de (por exemplo, ). - O sinal alternado
faz os termos mudarem de sinal a cada passo, o que é típico de .
Essa série tem raio de convergência infinito, ou seja, converge parapara todo .
Passo 3
Dividimos a série de
por
. Como cada termo da série é proporcional a
, ao dividir por
obtemos uma série para
:
Explicação: dividir termo a termo dá
. Isso é válido porque a série de
converge absolutamente e uniformemente em qualquer intervalo compacto, então operações termo-a-termo (como divisão por
para
) são legítimas; no ponto
o lado direito tem limite bem definido e coincide com o valor limite
.
Passo 4
Justificamos a troca soma ↔ integral. A série para
converge uniformemente em
(porque converge uniformemente em qualquer intervalo compacto), logo podemos integrar termo a termo no intervalo
. Assim:
Aqui usei a linearidade da integral e a troca legitimada pela uniformidade de convergência.
Passo 5
Calculemos a integral de cada termo simples:
Substituindo isso na soma obtemos a representação em série da integral:
Essa é uma série absolutamente explícita — cada termo é
.
Passo 6
Agora quero te mostrar como aproximar numericamente essa soma de maneira segura (útil na prova se pedirem valor numérico). Repare que a série é alternada (os termos mudam de sinal) e os módulos dos termos
decrescem para
quando
(porque o fatorial cresce muito rápido). Pelo Critério da Série Alternada (também chamado de Lei de Leibniz), a soma parcial truncada fornece uma aproximação cujo erro absoluto é no máximo o módulo do próximo termo. Ou seja, se
é a soma até
, então
Passo 7
Vamos calcular alguns termos e somas parciais para obter uma aproximação com garantia de erro. Calculemos os primeiros quatro termos:
- Para
:
- Para
:
- Para
:
- Para
:
Agora as somas parciais:
Pelo Critério da Série Alternada, o erro ao usar
é no máximo
, onde
Logo
já dá a resposta correta com erro menor que
.
Passo 8
Concluímos que a integral vale a soma da série e, numericamente:
com erro menor do que
se usarmos os termos calculados acima.