Encontre a solução geral de
.
Passo 1
O enunciado dá a equação diferencial
e pede para encontrar a solução geral
.
Informações importantes fornecidas pelo enunciado:
Informações importantes fornecidas pelo enunciado:
- A incógnita é a função
. - A derivada aparece como
. - O coeficiente multiplicando
é . - O termo do lado direito é
. - Queremos a solução geral (ou seja, com constante arbitrária).
Passo 2
Vamos usar um procedimento sistemático para equações lineares de primeira ordem. Primeiro apresento a forma geral e a ideia (explicando cada coisa devagarinho). A forma geral é
onde
e
são funções conhecidas de
. Aqui temos
e
.\n
A técnica que vamos usar constrói um fator integrante tal que, ao multiplicar a equação por
, o lado esquerdo se torne a derivada de
. Explico por quê: se conseguirmos
com a propriedade
A técnica que vamos usar constrói um fator integrante
queremos que
seja igual a
, isto é,
. Isso leva a
ou seja
Daí o fator integrante é
Resumo: escolher
garante que, multiplicando a equação original por
, o lado esquerdo vira
, o que facilita integração.
Passo 3
Calculo o fator integrante para o nosso caso. Temos
, então
Como constantes multiplicativas em
não mudam a técnica, podemos tomar a constante
. Assim escolhemos
Passo 4
Multiplico a equação original por
. Obtém-se
Pelo que construímos, o lado esquerdo é exatamente a derivada do produto
, pois
e
. Portanto a equação fica
No lado direito simplificamos
, então
Passo 5
Agora integramos ambos os lados em relação a
. A integral da derivada é o próprio produto, então
onde
é a constante arbitrária de integração. (Lembre que
constante.)
Passo 6
Isolo
dividindo por
:
Podemos escrever de forma levemente reorganizada como
ou ainda
Aqui
é a constante arbitrária que representa a família de soluções.