Encontre a solução geral de
y^{\prime}+3 x^{2} y=\operatorname{sen} x e^{-x^{3}}.

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial
y'+3x^{2}y=\operatorname{sen} x\,e^{-x^{3}}
e pede para encontrar a solução geral y(x).
Informações importantes fornecidas pelo enunciado:
  • A incógnita é a função y(x).
  • A derivada aparece como y'.
  • O coeficiente multiplicando y é 3x^{2}.
  • O termo do lado direito é \operatorname{sen} x\,e^{-x^{3}}.
  • Queremos a solução geral (ou seja, com constante arbitrária).

Passo 2

Vamos usar um procedimento sistemático para equações lineares de primeira ordem. Primeiro apresento a forma geral e a ideia (explicando cada coisa devagarinho). A forma geral é
y'+P(x)\,y=Q(x),
onde P(x) e Q(x) são funções conhecidas de x. Aqui temos P(x)=3x^{2} e Q(x)=\operatorname{sen} x\,e^{-x^{3}}.\n
A técnica que vamos usar constrói um fator integrante \mu(x) tal que, ao multiplicar a equação por \mu(x), o lado esquerdo se torne a derivada de \mu(x)\,y. Explico por quê: se conseguirmos \mu com a propriedade
(\mu y)'=\mu y'+\mu' y,
queremos que \mu' y seja igual a \mu P(x) y, isto é, \mu'=\mu P(x). Isso leva a
\frac{\mu'}{\mu}=P(x),
ou seja
\ln \mu=\int P(x)\,dx.
Daí o fator integrante é
\mu(x)=e^{\int P(x)\,dx}.
Resumo: escolher \mu=e^{\int P} garante que, multiplicando a equação original por \mu, o lado esquerdo vira (\mu y)', o que facilita integração.

Passo 3

Calculo o fator integrante para o nosso caso. Temos P(x)=3x^{2}, então
\int P(x)\,dx=\int 3x^{2}\,dx = x^{3}+C.
Como constantes multiplicativas em \mu não mudam a técnica, podemos tomar a constante C=0. Assim escolhemos
\mu(x)=e^{x^{3}}.

Passo 4

Multiplico a equação original por \mu(x)=e^{x^{3}}. Obtém-se
e^{x^{3}}y' + 3x^{2}e^{x^{3}}y = e^{x^{3}}\operatorname{sen} x\,e^{-x^{3}}.
Pelo que construímos, o lado esquerdo é exatamente a derivada do produto (e^{x^{3}}y), pois (e^{x^{3}}y)'=e^{x^{3}}y'+(e^{x^{3}})'y e (e^{x^{3}})'=3x^{2}e^{x^{3}}. Portanto a equação fica
\bigl(e^{x^{3}}y\bigr)' = e^{x^{3}}\operatorname{sen} x\,e^{-x^{3}}.
No lado direito simplificamos e^{x^{3}}e^{-x^{3}}=1, então
\bigl(e^{x^{3}}y\bigr)' = \operatorname{sen} x.

Passo 5

Agora integramos ambos os lados em relação a x. A integral da derivada é o próprio produto, então
e^{x^{3}}y = \int \operatorname{sen} x\,dx = -\cos x + C,
onde C é a constante arbitrária de integração. (Lembre que \int \operatorname{sen} x\,dx = -\cos x + constante.)

Passo 6

Isolo y dividindo por e^{x^{3}}:
y = e^{-x^{3}}\bigl(-\cos x + C\bigr).
Podemos escrever de forma levemente reorganizada como
y = -e^{-x^{3}}\cos x + C\,e^{-x^{3}},
ou ainda
y = e^{-x^{3}}\bigl(C - \cos x\bigr).
Aqui C é a constante arbitrária que representa a família de soluções.

Resposta

y=e^{-x^{3}}\bigl(C-\cos x\bigr)

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