Use séries de potências para encontrar o valor da integral
\int_{0}^{1} \frac{\operatorname{sen} x}{x} \mathrm{~d} x

Passo 1

O enunciado pede o valor da integral
\int_{0}^{1} \frac{\operatorname{sen} x}{x}\,\mathrm{d}x.
Informações dadas:
  • A função a integrar é \frac{\operatorname{sen}x}{x} no intervalo [0,1].
  • É pedido usar séries de potências para encontrar o valor da integral.
    Observação: a integral é bem-definida no intervalo dado porque \operatorname{sen}x/x tem limite finito quando x\to0.

Passo 2

Vamos lembrar a série de potências (série de Taylor) da função \operatorname{sen}x centrada em 0. Esta é uma fórmula fundamental que você deve conhecer e que vem de desenvolver \operatorname{sen}x em série:
\operatorname{sen}x = \sum_{k=0}^{\infty} (-1)^{k}\,\frac{x^{2k+1}}{(2k+1)!}.
Explicando cada parte:
  • k é o índice de soma, variando por todos os inteiros não negativos 0,1,2,\dots.
  • (2k+1)! é o fatorial de 2k+1 (por exemplo, 5! = 5\cdot4\cdot3\cdot2\cdot1).
  • O sinal alternado (-1)^k faz os termos mudarem de sinal a cada passo, o que é típico de \operatorname{sen}x.
    Essa série tem raio de convergência infinito, ou seja, converge para \operatorname{sen}x para todo x\in\mathbb{R}.

Passo 3

Dividimos a série de \operatorname{sen}x por x. Como cada termo da série é proporcional a x^{2k+1}, ao dividir por x obtemos uma série para \frac{\operatorname{sen}x}{x}:
\frac{\operatorname{sen}x}{x} = \sum_{k=0}^{\infty} (-1)^{k}\,\frac{x^{2k}}{(2k+1)!}.
Explicação: dividir termo a termo dá \frac{x^{2k+1}}{x} = x^{2k}. Isso é válido porque a série de \operatorname{sen}x converge absolutamente e uniformemente em qualquer intervalo compacto, então operações termo-a-termo (como divisão por x para x\neq0) são legítimas; no ponto x=0 o lado direito tem limite bem definido e coincide com o valor limite \lim_{x\to0}\frac{\operatorname{sen}x}{x}=1.

Passo 4

Justificamos a troca soma ↔ integral. A série para \frac{\operatorname{sen}x}{x} converge uniformemente em [0,1] (porque converge uniformemente em qualquer intervalo compacto), logo podemos integrar termo a termo no intervalo [0,1]. Assim:
\int_{0}^{1}\frac{\operatorname{sen}x}{x}\,\mathrm{d}x = \int_{0}^{1}\left(\sum_{k=0}^{\infty} (-1)^{k}\,\frac{x^{2k}}{(2k+1)!}\right)\mathrm{d}x = \sum_{k=0}^{\infty} (-1)^{k}\,\frac{1}{(2k+1)!}\int_{0}^{1} x^{2k}\,\mathrm{d}x.
Aqui usei a linearidade da integral e a troca legitimada pela uniformidade de convergência.

Passo 5

Calculemos a integral de cada termo simples:
\int_{0}^{1} x^{2k}\,\mathrm{d}x = \left[\frac{x^{2k+1}}{2k+1}\right]_{0}^{1} = \frac{1}{2k+1}.
Substituindo isso na soma obtemos a representação em série da integral:
\int_{0}^{1}\frac{\operatorname{sen}x}{x}\,\mathrm{d}x = \sum_{k=0}^{\infty} (-1)^{k}\,\frac{1}{(2k+1)(2k+1)!}.
Essa é uma série absolutamente explícita — cada termo é (-1)^k/[(2k+1)(2k+1)!].

Passo 6

Agora quero te mostrar como aproximar numericamente essa soma de maneira segura (útil na prova se pedirem valor numérico). Repare que a série é alternada (os termos mudam de sinal) e os módulos dos termos
a_k = \frac{1}{(2k+1)(2k+1)!}
decrescem para 0 quando k\to\infty (porque o fatorial cresce muito rápido). Pelo Critério da Série Alternada (também chamado de Lei de Leibniz), a soma parcial truncada fornece uma aproximação cujo erro absoluto é no máximo o módulo do próximo termo. Ou seja, se S_N é a soma até k=N, então
\left|\text{erro}\right| \le a_{N+1}.

Passo 7

Vamos calcular alguns termos e somas parciais para obter uma aproximação com garantia de erro. Calculemos os primeiros quatro termos:
  • Para k=0:
\frac{(-1)^0}{(1)(1!)} = 1.
  • Para k=1:
\frac{(-1)^1}{(3)(3!)} = -\frac{1}{3\cdot 6} = -\frac{1}{18}\approx -0,0555555556.
  • Para k=2:
\frac{(-1)^2}{(5)(5!)} = \frac{1}{5\cdot 120} = \frac{1}{600}\approx 0,00166666667.
  • Para k=3:
\frac{(-1)^3}{(7)(7!)} = -\frac{1}{7\cdot 5040} = -\frac{1}{35280}\approx -0,0000283446712.
Agora as somas parciais:
S_0 = 1,
S_1 = 1 - \tfrac{1}{18} = \tfrac{17}{18} \approx 0,9444444444,
S_2 = S_1 + \tfrac{1}{600} \approx 0,9461111111,
S_3 = S_2 - \tfrac{1}{35280} \approx 0,9460827664.
Pelo Critério da Série Alternada, o erro ao usar S_3 é no máximo a_4, onde
a_4 = \frac{1}{(9)(9!)} = \frac{1}{9\cdot 362880} = \frac{1}{3265920} \approx 3{,}061\times10^{-7}.
Logo S_3 já dá a resposta correta com erro menor que 4\cdot10^{-7}.

Passo 8

Concluímos que a integral vale a soma da série e, numericamente:
\int_{0}^{1}\frac{\operatorname{sen}x}{x}\,\mathrm{d}x = \sum_{k=0}^{\infty} (-1)^{k}\,\frac{1}{(2k+1)(2k+1)!} \approx 0{,}9460830704,
com erro menor do que 3{,}1\times10^{-7} se usarmos os termos calculados acima.

Resposta

\int_{0}^{1}\frac{\operatorname{sen}x}{x}\,\mathrm{d}x=\sum_{k=0}^{\infty}(-1)^{k}\frac{1}{(2k+1)(2k+1)!}
\approx 0{,}9460830704

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