Se y_{1}(t) e y_{2}(t) forem soluções de
y^{\prime \prime}+p(t) y^{\prime}+q(t) y=g_{1}(t) \quad \text { e } \quad y^{\prime \prime}+p(t) y^{\prime}+q(t) y=g_{2}(t)
respectivamente, verifique que y(t)=y_{1}(t)+y_{2}(t) é solução de
y^{\prime \prime}+p(t) y^{\prime}+q(t) y=g_{1}(t)+g_{2}(t)
(Simmons, 3a, pag. 103; este é trabalhoso!) Use o método dos coeficientes a determinar para encontrar a solução geral de y^{\prime \prime}+4 y= 4 \cos 2 t+6 \cos t+8 t^{2}-4 t . \quad Resposta: y_{p}(t)=c_{1} \operatorname{sen} 2 t+c_{2} \cos 2 t+ t \operatorname{sen} 2 t+2 \cos t-1-t+2 t^{2}.

Passo 1

O enunciado tem duas partes. Primeiro, diz que y_{1}(t) e y_{2}(t) são soluções de
y^{\prime\prime}+p(t)y^{\prime}+q(t)y=g_{1}(t)
e
y^{\prime\prime}+p(t)y^{\prime}+q(t)y=g_{2}(t),
respectivamente, e pede para verificar que y(t)=y_{1}(t)+y_{2}(t) é solução de
y^{\prime\prime}+p(t)y^{\prime}+q(t)y=g_{1}(t)+g_{2}(t).
Segundo, pede que, usando o método dos coeficientes a determinar, se encontre a solução geral da equação
y^{\prime\prime}+4y=4\cos 2t+6\cos t+8t^{2}-4t.
Informações relevantes que o enunciado deu:
  • As duas primeiras equações definem y_{1} e y_{2} como soluções de um mesmo operador linear não homogêneo com termos diferentes g_{1} e g_{2}.
  • A segunda parte fornece um EDO linear de segunda ordem com coeficientes constantes e um termo de forçamento que é soma de funções simples: uma senóide com frequência ressonante \cos 2t, outra senóide \cos t e um polinômio 8t^{2}-4t.
  • Não há outras condições iniciais fornecidas, então devemos obter a solução geral com constantes arbitrárias.

Passo 2

Verificação da propriedade pedida (superposição para termos fontes somados). Definimos o operador linear
L[y]=y^{\prime\prime}+p(t)y^{\prime}+q(t)y.
Se y_{1} e y_{2} satisfazem
L[y_{1}]=g_{1}(t),\qquad L[y_{2}]=g_{2}(t),
então, usando a linearidade das derivadas (isto é, (y_{1}+y_{2})' = y_{1}'+y_{2}' e similar para a segunda derivada) e a distributividade da soma, obtemos
L[y_{1}+y_{2}] = (y_{1}+y_{2})^{\prime\prime}+p(t)(y_{1}+y_{2})^{\prime}+q(t)(y_{1}+y_{2})
= y_{1}^{\prime\prime}+y_{2}^{\prime\prime}+p(t)y_{1}^{\prime}+p(t)y_{2}^{\prime}+q(t)y_{1}+q(t)y_{2}
= \bigl(y_{1}^{\prime\prime}+p(t)y_{1}^{\prime}+q(t)y_{1}\bigr)+\bigl(y_{2}^{\prime\prime}+p(t)y_{2}^{\prime}+q(t)y_{2}\bigr)
= g_{1}(t)+g_{2}(t).
Portanto y=y_{1}+y_{2} é solução de L[y]=g_{1}+g_{2}. Comentário didático: isso funciona porque L é um operador linear (soma e multiplicação por escalar saem do operador), por isso podemos tratar cada termo forçante separadamente e somar as soluções particulares.

Passo 3

Começo a resolver a equação dada:
y^{\prime\prime}+4y=4\cos 2t+6\cos t+8t^{2}-4t.
Primeiro resolvemos a homogênea associada:
y^{\prime\prime}+4y=0.
A equação característica é
r^{2}+4=0,
cuja solução é r=\pm 2i. Logo a solução geral da homogênea é
y_{h}(t)=C_{1}\cos 2t + C_{2}\sin 2t,
onde C_{1} e C_{2} são constantes arbitrárias. Explicação rápida: raízes imaginárias levam a seno e cosseno com frequência 2.

Passo 4

Pelo resultado do Passo 2 (linearidade), podemos procurar a solução particular y_{p} como soma de soluções particulares correspondentes a cada termo do lado direito:
y_{p}=y_{p}^{(1)}+y_{p}^{(2)}+y_{p}^{(3)},
onde
  • y_{p}^{(1)} corresponde a 4\cos 2t,
  • y_{p}^{(2)} corresponde a 6\cos t,
  • y_{p}^{(3)} corresponde a 8t^{2}-4t.
    Vou tratar cada um separadamente com o método dos coeficientes a determinar. Regra prática (didática): para termos senoidais usemos tentativa do tipo A\cos\omega t + B\sin\omega t; se \cos\omega t ou \sin\omega t já pertence a y_h (ressonância), multiplicamos por t o ansatz; para polinômios usemos polinômio de mesma ordem, e se houver termos homogêneos polinomiais multiplicar por potências de t conforme necessário (aqui não há polinômios na homogênea).

Passo 5

Determinar y_{p}^{(1)}\) para \(4\cos 2t\). Observação: \(\cos 2t\) e \(\sin 2t\) aparecem na solução homogênea, então há ressonância. Pela regra multiplicamos por \(t\). Tomamos tentativa \[y_{p}^{(1)}(t)=t\bigl(A\cos 2t + B\sin 2t\bigr).
Agora calculamos y_{p}^{(1)\prime} e y_{p}^{(1)\prime\prime}. Defina u(t)=A\cos 2t + B\sin 2t. Então y=t u, u'=-2A\sin 2t + 2B\cos 2t e u''=-4u. Usando produto:
y' = u + t u',\qquad y'' = 2u' + t u'' = 2u' -4t u.
Substituindo em y''+4y:
y''+4y = (2u' -4t u) + 4(t u) = 2u'.
Portanto
y''+4y = 2u' = 2(-2A\sin 2t + 2B\cos 2t) = -4A\sin 2t + 4B\cos 2t.
Queremos isso igual a 4\cos 2t. Igualando coeficientes:
\begin{cases} 4B = 4 \Rightarrow B=1,\\[4pt] -4A = 0 \Rightarrow A=0. \end{cases}
Assim
y_{p}^{(1)}(t)=t\sin 2t.
Comentário didático: o cálculo ficou curto graças ao cancelamento inteligente (o termo em (t u] anulou-se), uma boa razão para usar identidades de derivadas do produto.]

Passo 6

Determinar y_{p}^{(2)} para 6\cos t. Aqui não há ressonância com a homogênea (frequência 1 diferente de 2), então tentamos
y_{p}^{(2)}(t)=A\cos t + B\sin t.
Calculemos:
y' = -A\sin t + B\cos t,\qquad y'' = -A\cos t - B\sin t.
Logo
y''+4y = (-A\cos t - B\sin t) + 4(A\cos t + B\sin t) = 3A\cos t + 3B\sin t.
Queremos 3A\cos t + 3B\sin t = 6\cos t. Igualando coeficientes:
3A=6 \Rightarrow A=2,\qquad 3B=0 \Rightarrow B=0.
Portanto
y_{p}^{(2)}(t)=2\cos t.

Passo 7

Determinar y_{p}^{(3)} para o polinômio 8t^{2}-4t. Como não há soluções polinomiais na homogênea, tentamos um polinômio de grau 2:
y_{p}^{(3)}(t)=at^{2}+bt+c.
Derivadas:
y' = 2at + b,\qquad y'' = 2a.
Substituindo em y''+4y:
y''+4y = 2a + 4(at^{2}+bt+c) = 4a t^{2} + 4b t + (2a+4c).
Queremos isto igual a 8t^{2}-4t. Igualando coeficientes por potências de t:
\begin{cases} 4a = 8 \Rightarrow a=2,\\[4pt] 4b = -4 \Rightarrow b=-1,\\[4pt] 2a+4c = 0 \Rightarrow 2\cdot 2 + 4c =0 \Rightarrow c=-1. \end{cases}
Logo
y_{p}^{(3)}(t)=2t^{2}-t-1.]

Passo 8

Somando as três partes particulares encontramos a solução particular total:
y_{p}(t)=y_{p}^{(1)}+y_{p}^{(2)}+y_{p}^{(3)} = t\sin 2t + 2\cos t + 2t^{2} - t -1.
A solução geral da equação é a soma da homogênea com esta particular:
y(t)=y_{h}(t)+y_{p}(t) = C_{1}\cos 2t + C_{2}\sin 2t + t\sin 2t + 2\cos t + 2t^{2} - t -1.
Comentário final e incentivo: deu trabalho, mas a estratégia foi quebrar o problema em pedaços (graças à linearidade), escolher uma tentativa adequada para cada termo (atenção à ressonância), derivar e igualar coeficientes. Se repetir esse procedimento algumas vezes vai ficar mais natural — você já fez três tipos típicos de forçamento (ressonante, não ressonante senoidal e polinomial).

Resposta

y(t)=C_{1}\cos 2t + C_{2}\sin 2t + t\sin 2t + 2\cos t + 2t^{2} - t -1

Exercícios relacionados