Se
e
forem soluções de
respectivamente, verifique que
é solução de
(Simmons, 3a, pag. 103; este é trabalhoso!) Use o método dos coeficientes a determinar para encontrar a solução geral de
Resposta:
.
Passo 1
O enunciado tem duas partes. Primeiro, diz que
e
são soluções de
e
respectivamente, e pede para verificar que
é solução de
Segundo, pede que, usando o método dos coeficientes a determinar, se encontre a solução geral da equação
Informações relevantes que o enunciado deu:
- As duas primeiras equações definem
e como soluções de um mesmo operador linear não homogêneo com termos diferentes e . - A segunda parte fornece um EDO linear de segunda ordem com coeficientes constantes e um termo de forçamento que é soma de funções simples: uma senóide com frequência ressonante
, outra senóide e um polinômio . - Não há outras condições iniciais fornecidas, então devemos obter a solução geral com constantes arbitrárias.
Passo 2
Verificação da propriedade pedida (superposição para termos fontes somados). Definimos o operador linear
Se
e
satisfazem
então, usando a linearidade das derivadas (isto é,
e similar para a segunda derivada) e a distributividade da soma, obtemos
Portanto
é solução de
. Comentário didático: isso funciona porque
é um operador linear (soma e multiplicação por escalar saem do operador), por isso podemos tratar cada termo forçante separadamente e somar as soluções particulares.
Passo 3
Começo a resolver a equação dada:
Primeiro resolvemos a homogênea associada:
A equação característica é
cuja solução é
. Logo a solução geral da homogênea é
onde
e
são constantes arbitrárias. Explicação rápida: raízes imaginárias levam a seno e cosseno com frequência
.
Passo 4
Pelo resultado do Passo 2 (linearidade), podemos procurar a solução particular
como soma de soluções particulares correspondentes a cada termo do lado direito:
onde
-
corresponde a , -
corresponde a , -
corresponde a .
Vou tratar cada um separadamente com o método dos coeficientes a determinar. Regra prática (didática): para termos senoidais usemos tentativa do tipo; se ou já pertence a (ressonância), multiplicamos por o ansatz; para polinômios usemos polinômio de mesma ordem, e se houver termos homogêneos polinomiais multiplicar por potências de conforme necessário (aqui não há polinômios na homogênea).
Passo 5
Determinar
Agora calculamos
e
. Defina
. Então
,
e
. Usando produto:
Substituindo em
:
Portanto
Queremos isso igual a
. Igualando coeficientes:
Assim
Comentário didático: o cálculo ficou curto graças ao cancelamento inteligente (o termo em (t u] anulou-se), uma boa razão para usar identidades de derivadas do produto.]
Passo 6
Determinar
para
. Aqui não há ressonância com a homogênea (frequência 1 diferente de 2), então tentamos
Calculemos:
Logo
Queremos
. Igualando coeficientes:
Portanto
Passo 7
Determinar
para o polinômio
. Como não há soluções polinomiais na homogênea, tentamos um polinômio de grau 2:
Derivadas:
Substituindo em
:
Queremos isto igual a
. Igualando coeficientes por potências de
:
Logo
Passo 8
Somando as três partes particulares encontramos a solução particular total:
A solução geral da equação é a soma da homogênea com esta particular:
Comentário final e incentivo: deu trabalho, mas a estratégia foi quebrar o problema em pedaços (graças à linearidade), escolher uma tentativa adequada para cada termo (atenção à ressonância), derivar e igualar coeficientes. Se repetir esse procedimento algumas vezes vai ficar mais natural — você já fez três tipos típicos de forçamento (ressonante, não ressonante senoidal e polinomial).