Calcule o volume VS do sólido S dado.
S é uma esfera de raio a

Passo 1

O enunciado pede o volume VS de uma esfera de raio a. O conteúdo envolvido é o cálculo de volume por meio de integrais triplas em coordenadas esféricas, aproveitando a simetria do sólido.

Passo 2

Para aproveitar a simetria esférica, fazemos a mudança para coordenadas esféricas:
x = rho sinphi costheta, y = rho sinphi sintheta, z = rho cosphi,
com rhoin[0,a], phiin[0,pi] e thetain[0,2pi]. O elemento de volume fica rho^2sinphi,drho,dphi,dtheta. Assim,
VS = integral0^2piintegral0^piintegral0^a rho^2 sinphi,drho,dphi,dtheta

Passo 3

Separando as integrais:
integral0^2pidtheta = 2pi, integral0^pisinphi,dphi = 2, integral0^arho^2,drho = a^33

Passo 4

Multiplicando os resultados acima:
VS = 2pi times 2 times a^33 = 43,pi,a^3

Resposta

VS = 43,pi,a^3

Exercícios relacionados