Use séries de potências para resolver o problema de valor inicial.
y^prime prime+x y^prime+y=0 y(0)-0 y^prime(0)=1

Passo 1

O enunciado pede para resolver por séries de potências a EDO
y'' + x,y' + y = 0
com condições iniciais y(0)=0 e y'(0)=1.
Vamos supor uma solução em série de potências centrada em x=0 e determinar os coeficientes pelo método de Frobenius (aqui sem termo singular).

Passo 2

Assumimos
y(x)=sumn=0^inftyanx^n
Então
y'(x)=sumn=1^inftyn,anx^n-1, y''(x)=sumn=2^inftyn(n-1),anx^n-2

Passo 3

Substituindo em
y'' + x,y' + y = 0
obtemos
sumn=2^inftyn(n-1)anx^n-2 +sumn=1^inftyn,anx^n +sumn=0^inftyanx^n=0
Em cada soma, trocamos índice em y'' por m=n-2 e igualamos coeficientes de x^m:
(m+2)(m+1)am+2 + (m+1)am = 0,
logo o polinômio nulo impõe o relação de recorrência
am+2 = -amm+2, m>=0

Passo 4

Das condições iniciais temos
y(0)=a0=0, y'(0)=a1=1
Da recorrência segue que todos os a2k=0 (pois a0=0) e os coeficientes ímpares satisfazem, para k>=0,
a2k+1 = -a2k-12k+1 =cdots =(-1)^k13cdot5cdots(2k+1)
Usando a identidade 3cdot5cdots(2k+1)=(2k+1)!2^,kk!, chega-se a
a2k+1 =(-1)^k,2^,kk!(2k+1)!

Passo 5

Portanto a solução em série de potências é
y(x) =sumk=0^inftya2k+1x^2k+1 =sumk=0^infty(-1)^k,2^,kk!(2k+1)!;x^2k+1

Resposta

boxedy(x)=sumk=0^infty(-1)^k,2^,kk!(2k+1)!;x^2k+1

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