Use séries de potências para resolver o problema de valor inicial.
Passo 1
O enunciado pede para resolver por séries de potências a EDO
com condições iniciais
e
.
Vamos supor uma solução em série de potências centrada em e determinar os coeficientes pelo método de Frobenius (aqui sem termo singular).
Vamos supor uma solução em série de potências centrada em
Passo 2
Assumimos
Então
Passo 3
Substituindo em
obtemos
Em cada soma, trocamos índice em
por
e igualamos coeficientes de
:
logo o polinômio nulo impõe o relação de recorrência
Passo 4
Das condições iniciais temos
Da recorrência segue que todos os
(pois
) e os coeficientes ímpares satisfazem, para
,
Usando a identidade
, chega-se a
Passo 5
Portanto a solução em série de potências é