Encontre a solução dos sistemas de equações:
X^{\prime}=\left(\begin{array}{cc}1 & -2 \\\ 3 & 4\end{array}\right) X

Passo 1

O enunciado pede resolver o sistema de EDO linear de coeficientes constantes
X'(t)=A\,X(t),
onde
A = \begin{pmatrix}1 & -2\\\\ 3 & 4\end{pmatrix}.
O método clássico é encontrar os autovalores \lambda de A, seus autovetores, e montar a solução geral em termos de exponenciais (e, se necessário, funções seno e cosseno).

Passo 2

Calcular o polinômio característico de A:
\det(A-\lambda I) =(1-\lambda)(4-\lambda)-(-2)\cdot3 =\lambda^2-5\lambda+10.

Passo 3

Resolver
\lambda^2-5\lambda+10=0
pela fórmula de Bhaskara:
\lambda=\frac{5\pm\sqrt{25-40}}{2} =\frac{5\pm i\sqrt{15}}{2}.
Portanto definimos
\alpha=\frac{5}{2}, \quad \beta=\frac{\sqrt{15}}{2},
e os autovalores são \lambda_{1,2}=\alpha\pm i\beta.

Passo 4

Para \lambda_1=\alpha+i\beta, buscamos v\neq0 tal que
(A-\lambda_1I)v=0.
Da primeira linha:
(1-\lambda_1)v_1-2v_2=0 \;\Longrightarrow\; v_1=\frac{2}{1-\lambda_1}v_2 =\frac{-3+i\sqrt{15}}{6}\,v_2.
Tomando v_2=6, escolhemos o autovetor
v=\begin{pmatrix}-3+i\sqrt{15}\\\\ 6\end{pmatrix}.

Passo 5

Escrevendo v=p+i\,q com
p=\begin{pmatrix}-3\\\ 6\end{pmatrix}, \quad q=\begin{pmatrix}\sqrt{15}\\\ 0\end{pmatrix},
a base real de soluções é dada por
X_1(t) =e^{\alpha t}\bigl(p\cos(\beta t)-q\sin(\beta t)\bigr),
X_2(t) =e^{\alpha t}\bigl(p\sin(\beta t)+q\cos(\beta t)\bigr).

Resposta

A solução geral do sistema é
X(t) = C_{1}\,e^{\frac{5}{2}t}\Bigl(\begin{pmatrix}-3\\\ 6\end{pmatrix}\cos\frac{\sqrt{15}}{2}t -\begin{pmatrix}\sqrt{15}\\\ 0\end{pmatrix}\sin\frac{\sqrt{15}}{2}t\Bigr) + C_{2}\,e^{\frac{5}{2}t}\Bigl(\begin{pmatrix}-3\\\ 6\end{pmatrix}\sin\frac{\sqrt{15}}{2}t +\begin{pmatrix}\sqrt{15}\\\ 0\end{pmatrix}\cos\frac{\sqrt{15}}{2}t\Bigr),
onde C_{1} e C_{2} são constantes reais arbitrárias.

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