Determine cada limite, se existir:
(a)
(b)
(c)
(a)
(b)
(c)
Passo 1
O enunciado pede para determinar três limites da função
no ponto
. Especificamente:
- (a)
. - (b)
. - (c)
.
A função dada é
e o ponto é
. Vou listar as informações relevantes que temos do enunciado:
- A expressão dentro da raiz é
. - A raiz quadrada real exige que
. - O ponto onde queremos os limites é
.
Passo 2
Determinar o domínio da função (isso é crucial para saber de que lados podemos nos aproximar de
). A condição de existência da raiz real é
portanto
Logo, o domínio de
(no conjunto dos números reais) é o conjunto
. Em particular, valores com
não estão no domínio — a função não está definida para
.
Também calculemos o valor da função em
:
Passo 3
Calcular a limite à esquerda
.
Intuição: quando
se aproxima de
por valores menores (
), a quantidade
é um número pequeno e não negativo que tende a
pela direita. A raiz quadrada é contínua para argumentos não negativos, então a raiz da quantidade que tende a
tende a
.
Formalizando: coloque
. Se
então
. Assim
Portanto o limite pela esquerda existe e vale
.
Passo 4
Analisar o limite pela direita
— isso é importante para decidir se o limite bilateral
existe.
Mas pelo Passo 2 vimos que a função não está definida para
(pois
daí
não é um número real). Como não existem valores reais de
com
, não há como aproximar
por valores do domínio vindos da direita; portanto o limite pela direita, no contexto dos números reais, não existe. Em outras palavras, o limite à direita é inexistente (não há sequência de pontos do domínio que se aproxime de
vindo por
).
Passo 5
Concluir sobre o limite bilateral
.
Definição: o limite bilateral existe se, e somente se, existem ambos os limites laterais e eles são iguais. Aqui:
- o limite à esquerda existe e é
(Passo 3); - o limite à direita não existe (Passo 4).
Logo o limite bilateral
não existe (não existe porque falta o limite pela direita).
Observação didática e útil para prova: mesmo que o limite bilateral não exista, o valor da função em
é
, que coincide com o limite pela esquerda. Isso significa que
é contínua em
quando se considera a noção de continuidade em pontos extremos do domínio (continuidade à esquerda, para um extremo direito do domínio). Mas, estritamente falando, a limite bilateral em
não existe.
Resposta
(a)
(b) não existe
(c) não existe
(b) não existe
(c) não existe