Determine cada limite, se existir:
(a) \lim_{x \rightarrow a^{-}} f(x)
(b) \lim_{x \rightarrow a} f(x)
(c) \lim _{x \rightarrow a} f(x)
f(x)=\sqrt{5-x} ;\quad a=5

Passo 1

O enunciado pede para determinar três limites da função f no ponto a=5. Especificamente:
  • (a) \displaystyle \lim_{x\to a^{-}} f(x).
  • (b) \displaystyle \lim_{x\to a} f(x).
  • (c) \displaystyle \lim_{x\to a} f(x).
A função dada é f(x)=\sqrt{5-x} e o ponto é a=5. Vou listar as informações relevantes que temos do enunciado:
  • A expressão dentro da raiz é 5-x.
  • A raiz quadrada real exige que 5-x\ge 0.
  • O ponto onde queremos os limites é x=5.

Passo 2

Determinar o domínio da função (isso é crucial para saber de que lados podemos nos aproximar de a). A condição de existência da raiz real é
5-x\ge 0,
portanto
x\le 5.
Logo, o domínio de f (no conjunto dos números reais) é o conjunto \{x\in\mathbb{R}\mid x\le 5\}. Em particular, valores com x>5 não estão no domínio — a função não está definida para x>5.
Também calculemos o valor da função em a:
f(5)=\sqrt{5-5}=\sqrt{0}=0.

Passo 3

Calcular a limite à esquerda \displaystyle \lim_{x\to 5^{-}} \sqrt{5-x}.
Intuição: quando x se aproxima de 5 por valores menores ( x<5), a quantidade 5-x é um número pequeno e não negativo que tende a 0 pela direita. A raiz quadrada é contínua para argumentos não negativos, então a raiz da quantidade que tende a 0 tende a 0.
Formalizando: coloque h=5-x. Se x\to 5^{-} então h\to 0^{+}. Assim
\lim_{x\to 5^{-}}\sqrt{5-x}=\lim_{h\to 0^{+}}\sqrt{h}=0.
Portanto o limite pela esquerda existe e vale 0.

Passo 4

Analisar o limite pela direita \displaystyle \lim_{x\to 5^{+}} \sqrt{5-x} — isso é importante para decidir se o limite bilateral \displaystyle \lim_{x\to 5} \sqrt{5-x} existe.
Mas pelo Passo 2 vimos que a função não está definida para x>5 (pois 5-x<0 daí \sqrt{5-x} não é um número real). Como não existem valores reais de f(x) com x>5, não há como aproximar 5 por valores do domínio vindos da direita; portanto o limite pela direita, no contexto dos números reais, não existe. Em outras palavras, o limite à direita é inexistente (não há sequência de pontos do domínio que se aproxime de 5 vindo por x>5).

Passo 5

Concluir sobre o limite bilateral \displaystyle \lim_{x\to 5} \sqrt{5-x}.
Definição: o limite bilateral existe se, e somente se, existem ambos os limites laterais e eles são iguais. Aqui:
  • o limite à esquerda existe e é 0 (Passo 3);
  • o limite à direita não existe (Passo 4).
Logo o limite bilateral \displaystyle \lim_{x\to 5} \sqrt{5-x} não existe (não existe porque falta o limite pela direita).
Observação didática e útil para prova: mesmo que o limite bilateral não exista, o valor da função em 5 é f(5)=0, que coincide com o limite pela esquerda. Isso significa que f é contínua em 5 quando se considera a noção de continuidade em pontos extremos do domínio (continuidade à esquerda, para um extremo direito do domínio). Mas, estritamente falando, a limite bilateral em 5 não existe.

Resposta

(a) \;0
(b) não existe
(c) não existe

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