Ache cada limite, se existir.
32 \lim _{x \rightarrow-8} \frac{16 x^{2 / 3}}{4-x^{4 / 3}}\

Passo 1

O enunciado pede para calcular o seguinte limite:
32\lim_{x\to -8}\frac{16\,x^{2/3}}{4-x^{4/3}}.
Informações dadas:
  • A variável tende para \\ -8.
  • A expressão envolve potências fracionárias com expoente \tfrac{2}{3} e \tfrac{4}{3}.

Passo 2

Primeiro precisamos verificar se podemos simplesmente substituir x=-8 na expressão. Para isso é importante entender como interpretar x^{2/3} e x^{4/3} quando x é negativo.
Explicação didática rápida:
  • x^{1/3} significa a raiz cúbica real de x. Para x<0 existe uma raiz cúbica real (por exemplo, (-8)^{1/3}=-2).
  • Potências fracionárias compostas seguem a regra \bigl(x^{1/3}\bigr)^k = x^{k/3}. Assim x^{2/3}=(x^{1/3})^2 e x^{4/3}=(x^{1/3})^4.
  • Se a função é bem definida no ponto e o denominador é diferente de zero, podemos usar substituição direta para avaliar o limite (porque a composição de funções contínuas é contínua nesses pontos).
Portanto, verifiquemos o denominador em x=-8.

Passo 3

Calculemos (-8)^{1/3}, (-8)^{2/3} e (-8)^{4/3}.
(-8)^{1/3} = -2,
porque (-2)^3=-8.
Usando isso,
(-8)^{2/3} = \bigl((-8)^{1/3}\bigr)^2 = (-2)^2 = 4,
(-8)^{4/3} = \bigl((-8)^{1/3}\bigr)^4 = (-2)^4 = 16.

Passo 4

Agora substituímos estes valores na razão:
Numerador:
16\cdot(-8)^{2/3} = 16\cdot 4 = 64.
Denominador:
4 - (-8)^{4/3} = 4 - 16 = -12.
Portanto a fração vale
\frac{16\,(-8)^{2/3}}{4-(-8)^{4/3}} = \frac{64}{-12} = -\frac{16}{3}.

Passo 5

Falta multiplicar pelo fator externo 32:
32\cdot\left(-\frac{16}{3}\right) = -\frac{32\cdot16}{3} = -\frac{512}{3}.

Passo 6

Concluímos que a expressão está bem definida em x=-8 (o denominador não é zero) e portanto o limite existe e é igual ao valor calculado por substituição.

Resposta

-\dfrac{512}{3}

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