Use um sistema de computação algébrica para achar o volume exato do sólido obtido pela rotação da região delimitada pelas curvas dadas em torno da reta especificada.
y=sen^2 x, y=0,0 <= x <= pi ; em torno de y=-1

Passo 1

O enunciado pede o volume do sólido obtido ao girar, em torno da reta y=-1, a região limitada por
y=sin^2x, y=0, 0<= x<=pi
O conteúdo é “sólidos de revolução” e vamos aplicar o método dos discos/arruelas (washers), onde precisamos expressar os raios externo e interno em função de x.

Passo 2

Para cada xin[0,pi], a distância da reta y=-1 até a curva superior y=sin^2x é
Ro(x)=l(sin^2xr)-(-1)=sin^2x+1,
e até a curva inferior y=0 é
Ri(x)=0-(-1)=1

Passo 3

Pelo método das arruelas, o volume é
V=piintegral0^pil[Ro(x)^2-Ri(x)^2r],dx =piintegral0^pil[(sin^2x+1)^2-1^2r]dx

Passo 4

Expandindo o integrando:
(sin^2x+1)^2-1 =sin^4x+2sin^2x+1-1 =sin^4x+2sin^2x
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V=piintegral0^pil(sin^4x+2sin^2xr),dx

Passo 5

Calculamos as integrais básicas:
integral0^pisin^2x,dx =integral0^pi1-cos2x2dx =[x2-sin2x4]0^pi =pi2,
integral0^pisin^4x,dx =integral0^pil(tfrac1-cos2x2r)^2dx =3pi8

Passo 6

Substituindo em V:
V =pil(tfrac3pi8+2cdottfracpi2r) =pil(tfrac3pi8+pir) =picdottfrac11pi8 =11pi^28

Resposta

11pi^28

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