Verificar se as seguintes igualdades são válidas, seja por integração ou por derivação.
Usando o método de substituição verificar as seguintes integrais.
integral x-raizarctg(2 x)1+4 x^2 d x=18 ln (1+4 x^2)-13(arctg(2 x))^3 / 2+c

Passo 1

O enunciado nos pede para verificar se vale
integral x-raizarctan(2x)1+4x^2,dx =18lnl(1+4x^2r)-13l(arctan(2x)r)^3/2+C
O conteúdo é integração por substituição, usando que ddxarctan(2x)=21+4x^2

Passo 2

Separemos a integral em duas partes:
integral x1+4x^2,dx ;-; integral raizarctan(2x)1+4x^2,dx

Passo 3

Para a primeira parte, note que
integral x1+4x^2,dx
fazemos a substituição direta t=1+4x^2implies dt=8x,dx, logo
integral x1+4x^2,dx =18integral dtt =18lnl(1+4x^2r)+C1

Passo 4

Para a segunda parte, façamos
u=arctan(2x) Longrightarrow du=21+4x^2,dx Longrightarrow dx1+4x^2=du2
Então
integral raizarctan(2x)1+4x^2,dx =integral raizu,du2 =12integral u^1/2,du =12cdot23u^3/2 =13u^3/2+C2
Voltando a x, isso dá tfrac13(arctan(2x))^3/2+C2.

Passo 5

Juntando as duas partes (absorvendo C1-C2 num único C), obtemos
integral x-raizarctan(2x)1+4x^2,dx =18lnl(1+4x^2r) -13l(arctan(2x)r)^3/2 + C

Resposta

A igualdade é válida.

Exercícios relacionados