Verificar se as seguintes igualdades são válidas, seja por integração ou por derivação.
Usando o método de substituição verificar as seguintes integrais.
integral raizarcsen(x)1-x^2 d x=23 raiz(arcsen(x))^3+c

Passo 1

O enunciado pede para verificar se vale a igualdade
integral raizarcsen(x)1-x^2,dx =23raizl(arcsen(x)r)^3+C
O conteúdo é integração por substituição, sabendo que ddxl(arcsen(x)r)=1raiz1-x^2.

Passo 2

Fazemos a substituição
u=arcsen(x),
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du=dxraiz1-x^2 Longrightarrow dx=raiz1-x^2,du

Passo 3

Reescrevendo o integrando em termos de u:
raizarcsen(x)1-x^2 =raizuraiz1-x^2
e com dx=raiz1-x^2,du temos
integral raizarcsen(x)1-x^2,dx =integral raizuraiz1-x^2;l(raiz1-x^2,dur) =integral raizu,du

Passo 4

Integramos em u:
integral u^1/2,du =u^3/2tfrac32+C =23,u^3/2+C

Passo 5

Voltando a x:
u^3/2=l(arcsen(x)r)^3/2 =raizl(arcsen(x)r)^3,
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integral raizarcsen(x)1-x^2,dx =23raizl(arcsen(x)r)^3+C

Resposta

A igualdade é válida.

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