Verificar se as seguintes igualdades são válidas, seja por integração ou por derivação.
Usando o método de substituição verificar as seguintes integrais.
integral sen(ln x)x d x=cos (ln x)+c

Passo 1

O enunciado pede para verificar se a igualdade
integral sin(ln x)x,dx = cos(ln x) + C
é válida. O conteúdo da matéria é integração por substituição, e também podemos checar usando derivação do suposto antiderivado.

Passo 2

Fazemos a substituição
u = ln x
então
du = 1x,dx
e a integral fica
integral sin(ln x)x,dx = integral sin(u),du

Passo 3

Integramos em u:
integral sin(u),du = -cos(u) + C
Voltando a x, obtemos
integral sin(ln x)x,dx = -cos(ln x) + C

Passo 4

Para confirmar, derivamos o suposto resultado RHS = cos(ln x)+C:
ddxl[cos(ln x)r] = -sin(ln x)cdot1x = -sin(ln x)x,
que difere por sinal do integrando original sin(ln x)x. Logo a igualdade proposta não bate.

Resposta

A igualdade não é válida. O antiderivado correto é
integral sin(ln x)x,dx = -cos(ln x) + C

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