Use um sistema de computação algébrica para achar o volume exato do sólido obtido pela rotação da região delimitada pelas curvas dadas em torno da reta especificada.
y=x, y=x e^{1-x / 2}; em torno de y=3

Passo 1

O que o enunciado pede e o que temos:
  • Pedem o volume exato do sólido obtido ao rotacionar a região limitada pelas curvas y=x e y = x e^{1 - x/2} em torno da reta y=3.
  • As informações relevantes dadas:
    • As duas curvas são dadas explicitamente como funções de x: y_1(x)=x e y_2(x)=x e^{1 - x/2}.
    • O eixo de rotação é a reta horizontal y=3.
  • Objetivo claro: achar V (valor exato) do sólido de revolução.

Passo 2

Determinar os pontos de interseção das curvas (limites de integração).
Resolver x = x e^{1 - x/2}. Isso dá duas possibilidades:
\text{ou } x=0,\qquad \text{ou, se } x\neq0,\; 1 = e^{1 - x/2}.
Tomando logaritmo no caso x\neq0:
0 = 1 - \frac{x}{2}\quad\Rightarrow\quad \frac{x}{2}=1\quad\Rightarrow\quad x=2.
Portanto as interseções são em x=0 e x=2. Nos pontos correspondentes os y são y=0 (em x=0) e y=2 (em x=2).

Passo 3

Determinar qual curva é a superior na faixa x\in[0,2].
Avalio em x=1:
y_1(1)=1,\qquad y_2(1)=1\cdot e^{1-1/2}=e^{1/2}>1.
Assim, para 0<x<2 vale y_2(x)=x e^{1 - x/2} > y_1(x)=x. Logo y_2 é a curva superior e y_1 a inferior no intervalo [0,2].

Passo 4

Escolha do método e fórmula:
  • Como o eixo de rotação é horizontal ( y=3) e as curvas estão dadas como y=f(x), o método das lâminas/aros (washers) é o mais direto.
  • Fórmula do método das lâminas (disco com furo): se a região entre y_{\text{superior}}(x) e y_{\text{inferior}}(x) para x\in[a,b] é rotacionada em torno de uma reta horizontal y = y_0, então
V = \pi \int_a^b \big(R(x)^2 - r(x)^2\big)\,dx,
onde R(x) é o raio externo (distância do eixo até a curva mais distante do eixo) e r(x) o raio interno (distância até a curva mais próxima do eixo).

Passo 5

Determinar R(x) e r(x) para o nosso caso.
  • O eixo y=3 está acima de toda a região (valores de y entre 0 e 2), então a curva com menor y fica mais longe do eixo. Assim:
R(x) = 3 - y_{\text{inferior}}(x) = 3 - x,
r(x) = 3 - y_{\text{superior}}(x) = 3 - x e^{1 - x/2}.
Portanto o volume é
V = \pi \int_{0}^{2} \Big[(3 - x)^2 - \big(3 - x e^{1 - x/2}\big)^2\Big] dx.

Passo 6

Simplificar a integranda para facilitar a integração.
Expandindo e simplificando:
(3-x)^2 - \big(3 - x e^{1 - x/2}\big)^2 = \big(9 -6x + x^2\big) - \big(9 -6x e^{1 - x/2} + x^2 e^{2(1 - x/2)}\big).
Cancelando termos iguais e reorganizando:
= x^2 - x^2 e^{2 - x} -6x + 6x e^{1 - x/2}.
Agrupando fatores:
= x^2\big(1 - e^{2 - x}\big) - 6x\big(1 - e^{1 - x/2}\big).
Assim
V = \pi \int_{0}^{2} \left[ x^2\big(1 - e^{2 - x}\big) - 6x\big(1 - e^{1 - x/2}\big)\right] dx.

Passo 7

Separar a integral em partes e calcular cada uma:
\frac{V}{\pi} = \int_0^2 x^2\,dx \;-\; \int_0^2 x^2 e^{2 - x}\,dx \;-\; 6\int_0^2 x\,dx \;+\; 6\int_0^2 x e^{1 - x/2}\,dx.
Vou calcular cada integral em ordem.
  1. \displaystyle \int_0^2 x^2\,dx = \left[\frac{x^3}{3}\right]_0^2 = \frac{8}{3}.
  2. \displaystyle \int_0^2 x^2 e^{2 - x}\,dx = e^{2}\int_0^2 x^2 e^{-x}\,dx.
    Calcular I=\int_0^2 x^2 e^{-x}\,dx por partes (ou fórmula de redução):
  • Usando redução,
\int x^2 e^{-x} dx = -x^2 e^{-x} + 2\int x e^{-x} dx.
E
\int x e^{-x} dx = -x e^{-x} + \int e^{-x} dx = -x e^{-x} - e^{-x}.
Avaliar definidamente de 0 a 2:
\int_0^2 x e^{-x} dx = \big[-x e^{-x} - e^{-x}\big]_0^2 = \big(-2 e^{-2} - e^{-2}\big) - \big(0 - 1\big) = 1 - 3 e^{-2}.
Então
I = \int_0^2 x^2 e^{-x} dx = \big[-x^2 e^{-x}\big]_0^2 + 2\int_0^2 x e^{-x} dx = -4 e^{-2} + 2(1 - 3 e^{-2}) = 2 - 10 e^{-2}.
Portanto
\int_0^2 x^2 e^{2 - x}\,dx = e^{2}\big(2 - 10 e^{-2}\big) = 2 e^{2} - 10.
  1. \displaystyle 6\int_0^2 x\,dx = 6\left[\frac{x^2}{2}\right]_0^2 = 6\cdot 2 = 12.
  2. \displaystyle 6\int_0^2 x e^{1 - x/2}\,dx = 6 e^{1}\int_0^2 x e^{-x/2}\,dx.
    Calcular J=\int_0^2 x e^{-x/2}\,dx. Faço a substituição t = x/2 ( x=2t, dx=2 dt), limites: x=0\to t=0, x=2\to t=1:
J = \int_0^1 (2t) e^{-t} (2\,dt) = 4\int_0^1 t e^{-t} dt.
Calcular \int_0^1 t e^{-t} dt por partes:
\int t e^{-t} dt = -t e^{-t} + \int e^{-t} dt = -t e^{-t} - e^{-t}.
Avaliado de 0 a 1:
\int_0^1 t e^{-t} dt = \big(-t e^{-t} - e^{-t}\big)_0^1 = \big(-e^{-1} - e^{-1}\big) - \big(0 - 1\big) = 1 - 2 e^{-1}.
Logo
J = 4(1 - 2 e^{-1}) = 4 - 8 e^{-1}.
E então
6 e^{1} J = 6 e (4 - 8 e^{-1}) = 24 e - 48.

Passo 8

Combinar todas as parcelas:
\frac{V}{\pi} = \underbrace{\frac{8}{3}}_{\text{(1)}} \;-\; \underbrace{(2 e^{2} - 10)}_{\text{(2)}} \;-\; \underbrace{12}_{\text{(3)}} \;+\; \underbrace{(24 e - 48)}_{\text{(4)}}.
Agora somar/algebrizar:
\frac{V}{\pi} = \frac{8}{3} - 2 e^{2} + 10 - 12 + 24 e - 48.
Agrupando termos numéricos:
\frac{8}{3} + 10 -12 -48 = \frac{8}{3} -50 = \frac{8 -150}{3} = -\frac{142}{3}.
Portanto
\frac{V}{\pi} = -\frac{142}{3} + 24 e - 2 e^{2}.
E finalmente
V = \pi\left(24 e - 2 e^{2} - \frac{142}{3}\right).

Passo 9

Comentário final curto e incentivo:
  • O resultado acima é exato e obtido simbolicamente (não foi arredondado). Bons estudos — você segurou a integral exponencial e a álgebra direitinho! Dá para checar numericamente se quiser, mas a forma fechada é a que interessa na prova.

Resposta

\displaystyle V=\pi\!\left(24e-2e^{2}-\dfrac{142}{3}\right)

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