Use um sistema de computação algébrica para achar o volume exato do sólido obtido pela rotação da região delimitada pelas curvas dadas em torno da reta especificada.
; em torno de
Passo 1
O que o enunciado pede e o que temos:
- Pedem o volume exato do sólido obtido ao rotacionar a região limitada pelas curvas
e em torno da reta . - As informações relevantes dadas:
- As duas curvas são dadas explicitamente como funções de
: e . - O eixo de rotação é a reta horizontal
.
- As duas curvas são dadas explicitamente como funções de
- Objetivo claro: achar
(valor exato) do sólido de revolução.
Passo 2
Determinar os pontos de interseção das curvas (limites de integração).
Resolver . Isso dá duas possibilidades:
Resolver
Tomando logaritmo no caso
:
Portanto as interseções são em
e
. Nos pontos correspondentes os
são
(em
) e
(em
).
Passo 3
Determinar qual curva é a superior na faixa
.
Avalio em :
Avalio em
Assim, para
vale
. Logo
é a curva superior e
a inferior no intervalo
.
Passo 4
Escolha do método e fórmula:
- Como o eixo de rotação é horizontal (
) e as curvas estão dadas como , o método das lâminas/aros (washers) é o mais direto. - Fórmula do método das lâminas (disco com furo): se a região entre
e para é rotacionada em torno de uma reta horizontal , então
onde
é o raio externo (distância do eixo até a curva mais distante do eixo) e
o raio interno (distância até a curva mais próxima do eixo).
Passo 5
Determinar
e
para o nosso caso.
- O eixo
está acima de toda a região (valores de entre e ), então a curva com menor fica mais longe do eixo. Assim:
Portanto o volume é
Passo 6
Simplificar a integranda para facilitar a integração.
Expandindo e simplificando:
Expandindo e simplificando:
Cancelando termos iguais e reorganizando:
Agrupando fatores:
Assim
Passo 7
Separar a integral em partes e calcular cada uma:
Vou calcular cada integral em ordem.
-
-
Calcularpor partes (ou fórmula de redução):
- Usando redução,
E
Avaliar definidamente de
a
:
Então
Portanto
-
-
Calcular. Faço a substituição ( , ), limites: , :
Calcular
por partes:
Avaliado de
a
:
Logo
E então
Passo 8
Combinar todas as parcelas:
Agora somar/algebrizar:
Agrupando termos numéricos:
Portanto
E finalmente
Passo 9
Comentário final curto e incentivo:
- O resultado acima é exato e obtido simbolicamente (não foi arredondado). Bons estudos — você segurou a integral exponencial e a álgebra direitinho! Dá para checar numericamente se quiser, mas a forma fechada é a que interessa na prova.